1 . 如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，．

(1)求角；
(2)若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积．

2 . 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆的直径为2cm，为直径延长线上的点，2 cm，为半圆上任意一点，且三角形为正三角形.

(1)当时，求四边形的周长；
(2)当在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；
(3)若与相交于点，则当线段的长取最大值时，求的值.

3 . 已知均为单位向量，且．
(1)求；
(2)求向量与的夹角；
(3)求向量与方向上的投影数量．

4 . 已知函数仅满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为；②最大值为2；③；④.
(1)请找出函数满足的三个条件，并说明理由和求出函数的解析式；
(2)若函数在处取得最大值，求实数的值及的值域；
(3)若函数在上的最大值比最小值大1，求实数的值.

5 . 已知复数，为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.

6 . 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．

(1)根据频率分布直方图估计这组数据的中位数；
(2)现按分层随机抽样的方法从质量在，内的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中质量至少有一个在内的概率；
(3)若该种植园中还未摘下的芒果大约有10000个，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体．某经销商来收购未摘芒果，提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以10元/千克收购；
B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的芒果以3元/个收购．
通过计算确定该种植园选择哪种方案获利更多？

7 . 如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记.

(1)求的值；
(2)若，求的值.

8 . 已知复数是一元二次方程（，）的根.
(1)求的值；
(2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模.

9 . 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，求面积的取值范围．

10 . 已知，，与的夹角是．
(1)求的值及的值；
(2)当为何值时，？