1 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数在区间上的最值．

2 . 已知椭圆的左，右焦点分别为.点在上，，的周长为，面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设的左，右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，__________（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）.
①求直线和交点的轨迹方程；
②是否存在实常数，使得恒成立；
③过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点.
（注：若选多个问题分别解答，按第一个解答计分）

3 . 已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的斜率为1，求点的坐标.

4 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，且经过两个点和；
(2)经过点.

5 . 已知双曲线的右焦点为.
(1)若双曲线的一条渐近线方程为: ，且，求双曲线的方程.
(2)以原点 O 为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线且斜率为，求双曲线的离心率.

6 . 椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．是椭圆上任意一点，，且．
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的斜率为2的直线交椭圆于，两点．求的面积．

7 . 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，，与交于点O，点E在线段上.

(1)求证：平面；
(2)若E为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

8 . 双曲线焦点是椭圆C：顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设动点在椭圆C上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.

9 . 已知数列的前项和为，满足，数列满足，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围.

10 . 如图，在四棱锥中，，，，平面平面．

(1)求证：平面；
(2)设，，求三棱锥的体积．