解题方法
1 . 某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”
和以椭圆左右焦点
为圆心的两个半圆
组成,曲线
和曲线
交于点
,
. 如图1所示建立平面直角坐标系
,曲线
所对应的方程为
,
,曲线
所对应的方程为
,
.
的值及曲线
所在椭圆的离心率
的值;
(2)现要在平安锁上找一个点
作为装饰孔,要求过点
且法向量为
的直线
与曲线
交于
两点(如图2所示),满足
,求实数
的值;
(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁,要求该菱形的四边与平安锁椭圆段
和圆弧段
均相切(如图3所示),求该菱形的面积.
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(2)现要在平安锁上找一个点
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(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁,要求该菱形的四边与平安锁椭圆段
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2 . 某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间(单位:分钟)进行统计调查,随机抽取了男生、女生各10人,按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图,并将上学路上花费时间划分了时间等级(时间越短等级越小),如下表所示.
(1)试根据茎叶图,求出这10名女生 上学路上花费时间的极差 和中位数 ;
(2)已知高二年级共有200人,若该20个样本数据是以性别分层抽样 的方式获取,试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数 ;
(3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人,设事件
为“被选中的男生的时间等级小于被选中的女生的时间等级”,假设这20个人上学互不影响,求事件
发生的概率.
花费时间 | |||
时间等级 | 一级 | 二级 | 三级 |
(1)试根据茎叶图,求出这10名
(2)已知高二年级共有200人,若该20个样本数据是以性别
(3)现从这20人中随机抽取男、女生各一人,设事件
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解题方法
3 . 某工厂为确定2024年A产品的生产总产量,调取了2020年至2023年近四年的A产品生产总产量
万件与其所需总成本
万元之间的对应关系(如下表所示),以作为建立
与
之间函数关系的依据,进而实现估算预测.工厂称此函数为“参照函数”.
该工厂拟用如下三个函数解析式:①
;②
;③
作为“参照函数”的备选.
(1)该工厂应选择哪个函数解析式为“参照函数”最为合理?请说明理由:
(2)根据(1)所选的“参照函数”,当该工厂预计2024年生产多少万件A产品时,其单位成本(即总成本除以总产量)最低?并求出此最低单位成本.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
A产品生产总产量x(万件) | 1 | 2 | 3 | 4 |
总成本y(万元) | 12 | 17 | 25 | 32 |
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(1)该工厂应选择哪个函数解析式为“参照函数”最为合理?请说明理由:
(2)根据(1)所选的“参照函数”,当该工厂预计2024年生产多少万件A产品时,其单位成本(即总成本除以总产量)最低?并求出此最低单位成本.
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4 . 已知
与
都是定义在
上的函数,若对任意
,
,当
时,都有
,则称
是
的一个“控制函数”.
(1)判断
是否为函数
的一个控制函数,并说明理由;
(2)设
的导数为
,
,求证:关于
的方程
在区间
上有实数解;
(3)设
,函数
是否存在控制函数?若存在,请求出
的所有控制函数;若不存在,请说明理由.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d562dc22dfb3b81d0c3f88b54d063c2f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c814128ea2139e33db94ea590e7c2223.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7493c0fcdc634aa03efb6be277e23769.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/26d8dafc71b106f39f4e15442220897b.png)
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(1)判断
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(2)设
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/724340d69477c0ec2418c392b22b1cab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8e14206c7d228a7c2259a7b27da8813.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cb7a9a783d62f5967e662a562211e2d1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4562f3225c98cf5cb11b47d98c9cc9c3.png)
(3)设
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
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5 . 2022年12月底,某厂的废水池已储存废水800吨,以后每月新产生的2吨废水也存入废水池.该厂2023年开始对废水处理后进行排放,1月底排放10吨处理后的废水,计划以后每月月底排放一次,每月排放处理后的废水比上月增加2吨.
(1)若按计划排放,该厂在哪一年的几月份排放后,第一次将废水池中的废水排放完毕?
(2)该厂加强科研攻关,提升废水处理技术,经过深度净化的废水可以再次利用,该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化,首次净化废水5吨,以后每月比上月提高20%的净化能力.试问:哪一年的几月份开始,当月排放的废水能被全部净化?
(1)若按计划排放,该厂在哪一年的几月份排放后,第一次将废水池中的废水排放完毕?
(2)该厂加强科研攻关,提升废水处理技术,经过深度净化的废水可以再次利用,该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化,首次净化废水5吨,以后每月比上月提高20%的净化能力.试问:哪一年的几月份开始,当月排放的废水能被全部净化?
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6 . 已知正整数
,函数
.
(1)若
,
,
,
,
在
上严格增,求实数t的最小值;
(2)若
,
,
,
,
在
处有极值,函数
有3个不同的零点,求实数m的取值范围;
(3)若函数
的导函数
恰有
个零点
(
,2,…,k),满足
,求证:
在
上严格增.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f2c91611d2411474b94020434befbde.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fa69dde104dcf963e67647e801e0149.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3299d1d394efc1381671b1632e6e87e1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b065334d8f60c49f4bd3d9f1373fe4cd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ad6bb11629d27b032bd757c348c95e8c.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fa69dde104dcf963e67647e801e0149.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c3096521d50a8baaa018ebc9f25ec9e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/16c8d0474f7d81ef8dbefaacfd5afe7c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b384412acba251d87902ab928902f16.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/efc046a7b475b5130da69bf537226ec8.png)
(3)若函数
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/724340d69477c0ec2418c392b22b1cab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be2aa89da57b35c4f8d4a0783943415b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97ea8f47d8d8d9e1832d52b1c7425450.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c45176df950dfe48b8ca7eac08ee349.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/77f2c29c3fa9a439ec37ff47048aa03f.png)
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名校
解题方法
7 . 已知数列
的通项公式为
,其中常数
.
(1)若
,求
的值;
(2)若
前10项的和为1551,试分析
的单调性;
(3)对于常数t,记集合
,试求当
与t变化时,集合
中元素个数的最大值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b46c01a94b7d89f7b868106026626d09.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/71b8e5990ef4ef314941a3154457a9d4.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ef48decc62a3062c1cd0ea4c95c17a28.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/df64046e91b047037f19e4032e3b6de3.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
(3)对于常数t,记集合
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/84c2a1ba529e3a2c2047cdc6f9494bd6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/df64046e91b047037f19e4032e3b6de3.png)
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8 . 已知椭圆E的方程为
,
与
是E的左右两个焦点,
是E的下顶点.
(1)设斜率为1的直线l过点
,且与E交于M,N两点,求弦
的长;
(2)若E上一点P满足
,求三角形
的面积;
(3)设椭圆上一点
,求证:射线
平分
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e8ab5ed3dd54f42da747b01afdb7b031.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a3fb78c5f885034612c0e030b920143d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e10de2c38bc918ae9e1ce62a5c70099.png)
(1)设斜率为1的直线l过点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411461db15ee8086332c531e086c40c7.png)
(2)若E上一点P满足
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1aaeb8b71e4552c1ce740f5497bd13f8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c680749eda007641fdaa9f9fdc103700.png)
(3)设椭圆上一点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c2110da40af010a6c7d69b661ca4f8ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0bf25e032b5599ac49383de06e776365.png)
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解题方法
9 . 已知直线l的方程为
.根据以下条件,求直线m的方程.
(1)若直线m过点
,且直线m与直线l的夹角为
,求直线m的方程;
(2)若直线m的倾斜角为
,将直线m绕其上一点P逆时针旋转α后得到直线n,直线n与y轴交于点
,将直线n绕点P逆时针旋转
后得到直线l,求直线m的方程.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d3aa3adcb154f6144903d456289ecb0f.png)
(1)若直线m过点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fad20e2bc6576fc461419f8f138d26e7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5f700dfadb2d40a13c4797c368acc72d.png)
(2)若直线m的倾斜角为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2f9ac7f5c2a744c676e60413cca43236.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1803dc3c76fd2b51696647aa18602412.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d6d5d1dac32b2b62e28fcc24e92d0d00.png)
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解题方法
10 . 已知函数
.
(1)依次求
,
,
的值;
(2)对任意正整数n,记
,即
.猜想数列
的通项公式,并用数学归纳法证明.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42fa4034048d54c492fe0d63802a6c2d.png)
(1)依次求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e5d55ef0d1b7ea88d92fd6e1ecebb5f5.png)
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(2)对任意正整数n,记
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