1 . 已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)函数在定义域上为增函数，求的取值范围.

2 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.

3 . 某学校为了丰富学生的课外活动，利用了课余时间举行了课外趣味投篮.在投篮活动中，每位学生投篮若干次，每一次投篮的计分方法如下：第1次投篮，投中得2分，不中得1分，从第2次投篮开始，投中则获得上一次投篮所得分数两倍的得分，不中得1分，学生参加了投篮活动，该同学每次投篮投中的概率都为，每次投篮是否投中互不影响.
(1)设表示学生前2次投篮的得分之和，求的分布列；
(2)记学生第次投篮所得分数的数学期望为，求，，，并猜想当时，与之间的关系式.（不必写推导过程）

4 . 某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）.
(1)求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率；
(2)设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列.

6 . 设数列的前项和为，且，．
(1)求；
(2)求；
(3)若对任意的，成立，求的取值范围．

7 . 已知函数.
(1)若，，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，曲线过点的切线有三条，求的取值范围.

8 . 设正项等差数列的前项和为，，，，成等比数列.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.

9 . 2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：

	有慢性疾病	没有慢性疾病	合计
未感染支原体肺炎	40		80
感染支原体肺炎		40
合计	120		200

(1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

10 . 甲、乙等6名同学周末参加环保活动，活动结束后他们站成一排拍照留念.
(1)求甲、乙相邻的不同站法种数；
(2)求甲、乙都不站两端的不同站法种数.