解题方法
1 . 某植物科学研究所的最新研究表明:某种乔木类植物在沙漠中很难生存,主要原因是沙漠水土流失严重,土壤中的养料和水分相对贫瘠且该乔木类植物根系不发达.实验组调配出含钙、钾两种促进植物根系生长的生长液,将该种乔木类植物的幼苗放置在合适的环境下且每天加入等量的生长液进行培养,并记录前5天该乔木类幼苗的高度
与天数
的数据,如下表所示:
(1)若该实验小组通过作散点图发现
与
之间具有较强的线性相关关系,试用最小二乘法求出
关于
的经验回归方程
.
(2)一般认为当该乔木类幼苗高度不小于
时即可移栽到自然条件下进行种植.若在不加生长液的条件下培养,该乔木类幼苗达到移栽标准的最短培养时间一般为18天,利用(1)中的回归方程预测加了生长液后最短培养时间比不加生长液时缩短了多少天.
参考公式:在经验回归方程
中,
.
参考数据:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b2a8e2712494bc2022c30d37e395cf10.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![]() | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
![]() | 7 | 10 | 12 | 16 | 20 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1db6103cb0f1d2bd6b19235d53ee7e98.png)
(2)一般认为当该乔木类幼苗高度不小于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c2c458557c1fdd6bdfd0d6cc058987b.png)
参考公式:在经验回归方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cfa6528690a49d3c43d85f57c7f1d132.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fb66945fb0084c8c9caef2a5c14b0464.png)
参考数据:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/88294df1f1a3e64069a2eaeb247504e4.png)
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2 . 如图,在四面体
中,
平面
,点
为棱
的中点,
,
.
;
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca5dd496ee0c1170ef6dcc48266ee444.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7bef5239ddbb0972700ce01daf9ee7cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c3e9ef3e849788645552cfb0735d987.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/88dfad20532c777a140cd5f85b73d7c7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cfc1f76257275ab4b04f9bc913535670.png)
(2)求平面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca67a5b8f69507c8b80379e86f90a8ce.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6d9b10e4ec59b04c3322055be6a11cf7.png)
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3 . 已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求函数
的零点个数.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a801715f06d8016fc09bd53ccfcf0b8b.png)
(1)求曲线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5828873f8369183faf71181cda5b61d2.png)
(2)求函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
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4 . 郑州市某中学的一个研究性学习小组为了了解郑州市市民2023年旅游支出情况(单位:千元),对随机选取的100名郑州市民2023年旅游支出进行问卷调查,并把数据整理成如下表所示的频数分布表:
(1)从这100位市民中随机抽取两人,求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率;
(2)若郑州市市民2023年旅游支出费用
近似服从正态分布
近似为样本平均数
(同一组中的数据用该组区间的中间值代表),
近似为样本标准差
,并已求得
,利用所得正态分布模型解决以下问题:
(i)假定郑州市2023年常住人口为1000万人,试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上;
(ii)若在郑州市随机抽取3位市民,设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为
,求随机变量
的分布列和数学期望.
附:若
,则
,
.
组别(支出费用) | ![]() | |||||||
频数 | 3 | 4 | 8 | 11 | 41 | 20 | 8 | 5 |
(1)从这100位市民中随机抽取两人,求这两人2023年旅游支出费用均不低于10000元的概率;
(2)若郑州市市民2023年旅游支出费用
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/679ad560356d009ac767c60f33a2062e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c85481cd7e94130ef3aa05b4a39e79cd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c0ad7e7853a069537387b5192f73844.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5873c01192b7d33b7483f444f90b5b0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5844a34ce7f78aaebfd52bbe0adc35ac.png)
(i)假定郑州市2023年常住人口为1000万人,试估计郑州市有多少市民2023年旅游支出费用在15000元以上;
(ii)若在郑州市随机抽取3位市民,设其中2023年旅游支出费用在9000元以上的人数为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
附:若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56c3c1dd229110d9f04ca9ad944706d4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/858a108ed6908ffa73ea3f82976670e6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d851580543e021a5ed81c322816f168b.png)
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解题方法
5 . 已知数列
的前n项和
.
(1)求
的通项公式;
(2)令
,求数列
的前n项和
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8af9f6eb71effe638488e6640f3e140f.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
(2)令
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a27b515f1a285ff1286ac597cce326b3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/034ba25825c13725931c483aa47c9363.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f1ae9a3b0b7aeb1545b65d91aa371b3c.png)
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解题方法
6 . 已知函数
,
.
(1)证明:
.
(2)证明:
.
(3)若
,求
的最大值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fa6be945eb11c0498223950886460a4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d463f5ad0920eaa291f87a5528c53f4.png)
(1)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d0d3e1b8a17cfb8266d19316c37ed8b.png)
(2)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ce084a09377c15254a57339698454923.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9fa208de679a96467488aa9655ee1f6e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/481f86b6e9c3eb6707a665bb55d18646.png)
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解题方法
7 . 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定,每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》,并向社会公开发布.下表是2019-2023年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比
:
(1)求2019-2023年年份代码
与
的样本相关系数(精确到0.01);
(2)请用样本相关系数说明该组数据中
与
之间的关系可用一元线性回归模型进行描述,并求出
关于
的经验回归方程;
(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.(回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
,(
,
)
附:样本相关系数,
,
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6933dde9f92965f108798a26d3257ace.png)
年份 | 2019年 | 2020年 | 2021年 | 2022年 | 2023年 |
代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
6.4 | 5.5 | 5.0 | 4.8 | 3.8 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97ea8f47d8d8d9e1832d52b1c7425450.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4de122ae929b1acaff321dec137622ed.png)
(2)请用样本相关系数说明该组数据中
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(3)预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.(回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8dde27ec32c584993dbad7cbd3f3ef1f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8112f4d3ab5f8ec8405fe32fd181ce32.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cac4d7a5709c45dee8bd7143a3d3840a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6c6dbe0c8b6e31729b74b71753a987f0.png)
附:样本相关系数,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/60308aae9eb9aad53027174333aad5f4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3c7a987d12df341ddfbd120e285359e0.png)
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8 . 已知数列
的首项
且![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/27abc0ddb1696ba33720fe25cb57fb75.png)
(1)证明:
是等比数列;
(2)求数列
的前
项和
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8268477a9da05189133a427668aa4c1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/27abc0ddb1696ba33720fe25cb57fb75.png)
(1)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4c895d4ce5ce82ef9b311b9369b4de11.png)
(2)求数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5816ff5a1585c9b748b13f5b8bd0b6f8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f1ae9a3b0b7aeb1545b65d91aa371b3c.png)
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382次组卷
|
2卷引用:河南省创新发展联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题
9 . 如图所示,两个长方形框架ABCD,ABEF满足
,
,且它们所在的平面互相垂直.动点M,N分别在长方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长度保持相等,记
.
(2)当MN的长最小时,求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ced06b71073e1bb777f326f06016ce17.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e4e15f970d1e9c973951fd9d7ad7ccdc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ea9e230f3b03fbcd3273e4dd2d52dd0d.png)
(2)当MN的长最小时,求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
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解题方法
10 . 已知定圆
,动圆P过点
,且和圆
相切.
(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程;
(2)设P是第一象限内轨迹E上的一点,
的延长线分别交轨迹E于点
.若
分别为
,
的内切圆的半径,求
的最大值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2fdc28de4b46c7a176ba6858a856a918.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/27e62a44b8712ce4483b8710cda0dc1c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f5076289823db419f94e9c0c8f4aafd9.png)
(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程;
(2)设P是第一象限内轨迹E上的一点,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/25d82387e48eafb286785a21a8d4150f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/357e0872d9e98d662a780e7686de86ee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ff8543261a8e351eb95cdfebb001a3b4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7733784336d1592cfe38e6a629140ef0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f01d20fc53563351369c9bcb1360c410.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37fd3d19b0c8b544d52b897ca30990b4.png)
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