1 . 已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间
（Ⅱ）若在上有且仅有一个极小值点，求的取值范围.

2 . 已知抛物线的焦点，若平面上一点到焦点与到准线的距离之和等于7.
（1）求抛物线的方程；
（2）又已知点为抛物线上任一点，直线交抛物线于另一点，过作斜率为的直线交抛物线于另一点，连接 问直线是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.

3 . 已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点，，且，点在直线上，为的中点，且直线平面.

（1）设，，，试用基底表示向量；
（2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；
（3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

5 . 已知函数在处取到极值为．
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．

6 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）动直线l与椭圆相交于、两点，与轴相交于点，与轴的正半轴相交于点，为线段的中点，若为定值，请判断直线l是否过定点，求实数的值，并说明理由.

7 . 已知函数.
（1）若.证明函数有且仅有两个零点；
（2）若函数存在两个零点，证明：.

8 . 已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对于任意，不等式恒成立．

9 . 已知函数．
（Ⅰ）当时，求零点处的切线方程；
（Ⅱ）若有两个零点，求证：．

10 . 已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．