1 . 甲、乙两名小朋友，每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片都是金色的，现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复次这样的操作，记甲手中银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为．
(1)求的值．
(2)问操作几次甲手中银色纪念卡片就可能首次出现0张，求首次出现这种情况的概率．
(3)记．
（i）证明数列为等比数列，并求出的通项公式．
（ii）求的分布列及数学期望．（用表示）

2 . 下面所给出的两个事件与相互独立吗?
(1)抛掷一枚骰子，事件“出现1点”，事件“出现2点”；
(2)先后抛掷两枚质地均匀的硬币，事件“第一枚出现正面”，事件“第二枚出现反面”；
(3)在装有2红1绿三个除颜色外完全相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件“第一次取到绿球”，“第二次取到绿球”．

3 . 根据点数取1～6的扑克牌共24张，写出下列试验的样本空间．
(1)任意抽取1张，记录它的花色；
(2)任意抽取1张，记录它的点数；
(3)在同一种花色的牌中依次抽取2张，记录每张的点数；
(4)在同一种花色的牌中一次抽取2张，计算两张点数之和．

4 . 在等腰梯形中，CD的中点为O，以O为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知．

(1)求；
(2)若点F在线段CD上，，求．

5 . 已知函数随机变量，随机变量，的期望为.
(1)当时，求；
(2)当时，求的表达式.

6 . 多年统计数据表明如果甲､乙两位选手在决赛中相遇，甲每局比赛获胜的概率为，乙每局比赛获胜的概率为.本次世界大赛，这两位选手又在决赛中相遇.赛制为五局三胜制（最先获得三局胜利者获得冠军）.
(1)现在比赛正在进行，而且乙暂时以领先，求甲最终获得冠军的概率；
(2)若本次决赛最终甲以的大比分获得冠军，求甲失分局序号之和的分布列和数学期望.

7 . 对于平面向量，定义“变换”：，
(1)若向量，，求；
(2)已知，，且与不平行，，，证明：.

8 . 已知数列是斐波那契数列，其数值为：.这一数列以如下递推的方法定义：.数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.
(1)已知数列满足.判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由.
(2)设数列的前项和为，
（i）若数列为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值；
（ii）在（i）问的前提下，若数列满足，，其前项和为.证明：当且时，成立.

9 . 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为．其中．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？
(2)若，记为整数n的二进制表达式中0的个数，如，求的值．（用数字作答）
(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由．

10 . 设，.
(1)若x，y均为锐角且，求z的取值范围；
(2)若且，求的值.