1 . 已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若曲线在处的切线与直线垂直，证明：.

2 . 已知函数．
(1)已知，试比较与的大小；
(2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．

3 . 如图，在直四棱柱中，.

   

(1)证明：平面；
(2)求与平面所成的角的正弦值.

4 . 已知双曲线的离心率为，过点的直线与交于两点，当的斜率为时，.
(1)求的方程；
(2)若分别在的左､右两支，点，探究：是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

8 . 第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”．

(1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

9 . 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上.

   

(1)当点在什么位置时，使得平面；
(2)若面与面所成角的正弦值为，求的长.

10 . 已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程．