1 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：.

2 . 设A是由个实数组成的2行n列的矩阵，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的矩阵构成的集合．记为A的第一行各数之和，为A的第二行各数之和，为A的第i列各数之和．记为、、、、…、中的最小值．
(1)若矩阵，求；
(2)对所有的矩阵，求的最大值；
(3)给定，对所有的矩阵，求的最大值．

3 . 对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数：
(1)设，求证：：
(2)①证明不等式：：
②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值．

4 . 已知数列的前项和是，且，等差数列中，．
(1)求数列的通项公式；
(2)定义：记，求数列的前20项和．

5 . 若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.
（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；
（2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；
（3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.

6 . 已知无穷数列{a_n}，对于m∈N^*，若{a_n}同时满足以下三个条件，则称数列{a_n}具有性质P(m)．
条件①：a_n＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得a_n≤T（n＝1，2，…）；
条件③：a_n＋a_n+1＝ma_n＋2（n＝1，2，…）．
（1）若a_n＝5＋4（n＝1，2，…），且数列{a_n}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；
（2）是否存在具有性质P（1）的数列{a_n}？若存在，求数列{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）设数列{a_n}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{a_n}的通项公式．

7 . 已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值；
（2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．

8 . 某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.

(1)求这种“笼具”的体积（，结果精确到）；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元）

9 . 对于数集X={-1，x₁，x₂，，x_n}，其中，n ≥ 2，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如{-1，1，2}具有性质P.
（1）若x > 2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2〉若X具有性质P，求证：1 ∈X ，且当x_n >1 时，x₁= 1；
（3）若X具有性质P，且x₁= 1 ，x₂ =q （q为常数），求有穷数列x₁，x₂，，x_n的通项公式.

10 . 新药在进入临床实验之前，需要先通过动物进行有效性和安全性的实验．现对某种新药进行5000次动物实验，一次实验方案如下：选取3只白鼠对药效进行检验，当3只白鼠中有2只或2只以上使用“效果明显”，即确定“实验成功”；若有且只有1只“效果明显”，则再取2只白鼠进行二次检验，当2只白鼠均使用“效果明显”，即确定“实验成功”，其余情况则确定“实验失败”．设对每只白鼠的实验相互独立，且使用“效果明显”的概率均为．
（Ⅰ）若，设该新药在一次实验方案中“实验成功”的概率为，求的值；
（Ⅱ）若动物实验预算经费700万元，对每只白鼠进行实验需要300元，其他费用总计为100万元，问该动物实验总费用是否会超出预算，并说明理由．