名校
解题方法
1 . 记
.
(1)若
，求
和
；
(2)若
，求证：对于任意
，都有
，且存在
，使得
.
(3)已知定义在
上
有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数
，均有
.
.(1)若
，求和；(2)若
，求证：对于任意，都有，且存在，使得.(3)已知定义在
上有最小值，求证“是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数，均有.
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名校
2 . 若函数
存在零点，函数
存在零点
，使得
，则称与
互为亲密函数.
(1)判断函数
与
是否为亲密函数，并说明理由；
(2)若函数
与
互为亲密函数，求
的取值范围.
附：
.
存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数.(1)判断函数
与是否为亲密函数，并说明理由；(2)若函数
与互为亲密函数，求的取值范围.附：
.
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3 . 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.其中，双曲余弦函数：
，双曲正弦函数：
，双曲正切函数：
.
(1)写出函数
的单调区间，并求它的值域；
(2)若关于
的不等式
恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知
，
，
，点
为
的内心，求点的横坐标.
，双曲正弦函数：，双曲正切函数：.(1)写出函数
的单调区间，并求它的值域；(2)若关于
的不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)已知
，，，点为的内心，求点的横坐标.
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名校
4 . 已知函数和的定义域分别为
和
，若对任意
，恰好存在
个不同的实数
，使得
（其中
），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断
是否为
的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)若
，为
，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)函数
表示不超过
的最大整数，如
．若
为
的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围．
和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．(1)试判断
是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；(2)若
，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；(3)函数
表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围．
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名校
5 . 对于定义在
上的函数
，若存在距离为
的两条平行直线
和
，使得对任意的
都有
，则称函数
有一个宽度为的通道，
与
分别叫做函数的通道下界与通道上界．
(1)若
，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；
(2)若
，证明：
存在宽度为2的通道；
(3)探究
是否存在宽度为
的通道？并说明理由．
上的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道，与分别叫做函数的通道下界与通道上界．(1)若
，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；(2)若
，证明：存在宽度为2的通道；(3)探究
是否存在宽度为的通道？并说明理由．
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2024-04-29更新
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650次组卷
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4卷引用：湖南省邵阳市绥阳县2024届高三下学期冲刺（一）数学试卷
湖南省邵阳市绥阳县2024届高三下学期冲刺（一）数学试卷（已下线）情境12 结论未知的证明命题（已下线）压轴题07三角函数与正余弦定理压轴题9题型汇总-1上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷
名校
解题方法
6 . 已知向量
；定义函数
，称向量
为的特征向量，为
的特征函数．
(1)设
，求的特征向量；
(2)设向量
的特征函数为，求当
且
时，
的值；
(3)设向量
的特征函数为，记
，若
在区间
上至少有40个零点，求
的最小值．
；定义函数，称向量为的特征向量，为的特征函数．(1)设
，求的特征向量；(2)设向量
的特征函数为，求当且时，的值；(3)设向量
的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值．
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2024-04-07更新
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213次组卷
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2卷引用：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
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解题方法
7 . 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间
连续，在开区间
内可导，且
，那么在区间内至少存在一点，使得
．
(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在
，使得
．
(2)已知函数
，若对于区间
内任意两个不相等的实数
，都有
成立，求实数的取值范围．
(3)证明：当
时，有
．
满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．(1)运用罗尔定理证明：若函数
在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．(2)已知函数
，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．(3)证明：当
时，有．
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2024-04-06更新
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1494次组卷
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2卷引用：湖南省新高考教学教研联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题
名校
解题方法
8 . 若函数对定义域内的每一个值
，在其定义域内都存在唯一的
，使
成立，则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数
是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)已知函数
在定义域
上为“依赖函数”，若存在实数
，使得对任意的
，不等式
都成立，求实数
的最大值.
对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数
是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)已知函数
在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
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解题方法
9 . 设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有
，则称为上的凹函数；若
，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的
，有琴生不等式
恒成立（当且仅当
时等号成立）.
(1)证明：
在
上为凹函数；
(2)设
，且
，求
的最小值；
(3)设
为大于或等于1的实数，证明：
.（提示：可设
）
的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.(1)证明：
在上为凹函数；(2)设
，且，求的最小值；(3)设
为大于或等于1的实数，证明：.（提示：可设）
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解题方法
10 . 设
是有序实数对构成的非空集，
是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对
，按照某种确定的关系
，在中都有唯一确定的数
和它对应，那么就称
为从集合到集合的一个二元函数，记作
，其中称为二元函数的定义域.
(1)已知
，若
，求
(2)非零向量
，若对任意的
，记
，都有
，则称在上沿
方向单调递增.已知
.请问在
上沿向量
方向单调递增吗？为什么？
(3)设二元函数的定义域为，如果存在实数
满足：
①
，都有
，
②
，使得
.
那么，我们称是二元函数的最小值.求
的最大值.
是有序实数对构成的非空集，是实数集，如果对于集合中的任意一个有序实数对，按照某种确定的关系，在中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个二元函数，记作，其中称为二元函数的定义域.(1)已知
，若，求(2)非零向量
，若对任意的，记，都有，则称在上沿方向单调递增.已知.请问在上沿向量方向单调递增吗？为什么？(3)设二元函数
的定义域为，如果存在实数满足：①
，都有，②
，使得.那么，我们称
是二元函数的最小值.求的最大值.
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