1 . 已知函数.
(1)当为何值时,为偶函数,说明理由;
(2)若,证明:;
(3)若,求证:有两个不相等的实数根.

2 . 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：.（注：，为的导数）已知在处的阶帕德近似为.
(1)求实数的值；
(2)证明：当时，；
(3)设为实数，讨论方程的解的个数.

3 . 对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数.
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：
①；
②.
(2)若为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且.

4 . 已知函数．
(1)当时，证明：只有一个零点．
(2)若，求的取值范围．

5 . 已知二次函数的单调递增区间为，且有一个零点为．
(1)证明：是偶函数．
(2)若函数在上有两个零点，求的取值范围．

6 . 已知函数有唯一零点，函数
(1)用定义法证明函数在区间 上是增函数；
(2)求函数的值域

7 . 已知函数，是常数.
(1)求函数的图象在点处的切线的方程；
(2)证明函数的图象在直线的下方；
(3)讨论函数零点的个数.

8 . 已知函数.
(1)若，请直接写出函数的零点的个数；
(2)若，求证：函数存在极小值；
(3)若对任意的实数,恒成立，求实数的取值范围.

9 . 已知二次函数，对任意实数x，不等式恒成立.
(1)求的值；
(2)若该二次函数有两个不同零点.
①求a的取值范围；
②证明：为定值.

10 . 已知函数.
(1)若在区间上恒成立，求m的取值范围；
(2)当时，证明：在区间内至少有2个零点.