1 . 已知函数，则下列命题正确的有（       ）

A．若恒成立，则

B．若与相切，则

C．存在实数使得和有相同的最小值

D．存在实数使得方程与有相同的根且所有的根构成等差数列

2 . 定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”．
(1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若为“上凸数列”，则当时，．
（ⅰ）若数列为的前项和，证明：；
（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值．

3 . 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
(2)已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

4 . 已知函数，则下列说法正确的是（       ）

A．当时，在上单调递增

B．当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增

C．当时，函数与的图象有两个不同的公共点

D．当时，若不等式在时恒成立，则的取值范围是

5 . 已知函数，，则下列说法正确的是（       ）．

A．函数的极大值为

B．当时，用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为6

C．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围为

D．若不等式在区间上恒成立，则a的取值范围为

6 . 已知正实数，函数，，为的导函数.
(1)若，求证：；
(2)求证；对任意正实数m，n，，有.

7 . 已知函数，．
(1)若不等式恒成立，求 的取值范围；
(2)若时，存在4个不同实数，，，，满足，证明：．

8 . 若函数的定义域为，对任意的，恒成立，则称函数为“有下界函数”，其中的最大值称为函数的“下确界”．已知函数，其中．
(1)若，证明：为“有下界函数”，并求出的“下确界”．
(2)若函数为“有下界函数”，求实数的取值范围．

9 . 已知函数
(1)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；
(2)设，若数列满足，其中，当时，证明：

10 . 已知函数，其中为常数，且
(1)求证：时，；
(2)已知a，b，p，q为正实数，满足，比较与的大小关系.