1 . （1）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示的外接圆半径.
①如图，在以O圆心、半径为2的圆O中，和是圆O的弦，其中，，求弦的长；
②在中，若是钝角，求证：；

（2）给定三个正实数a、b、R，其中，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用a、b、R表示c.

2 . 在直角坐标平面上的一列点，简记为．若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列．
（1）判断，是否为点列，并说明理由；
（2）若为点列，且点在点的右上方．任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若为点列，正整数，满足，求证：．

3 . 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写出公式，即若，则．
（1）已知的三边，，，且，求证：的面积．
（2）若，，求的面积的最大值．

4 . 某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为，同侧前后两轮胎之间的距离（指轮胎中心之间距离）（假定四个轮胎中心构成一个矩形），当该型号汽车开上一段上坡路（如图所示，其中，），且前轮已在段上时，后轮中心在位置；若前轮中心到达处时，后轮中心在处（假定该汽车能顺利驶上该上坡路），设前轮中心在和处时与地面的接触点分别为和，且，；（其它因素忽略不计）

（1）如图所示，和的延长线交于点，求证：；
（2）当=时，后轮中心从处移动到处实际移动了多少厘米？（精确到）

5 . 在平面四边形中，已知，，.
（1）若，，，求的长；
（2）若，求证：.

6 . 如图，是平面四边形的一条对角线，已知，且.

（1）求证：为等腰直角三角形；
（2）若，，求四边形面积的最大值.

7 . 如图，已知△的内角、、的对边分别为、、，其中，且，延长线段到点，使得，.

（1）求证：是直角；
（2）求的值.

8 . 在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_____，且a，b，c成等差数列，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

9 . 如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=1千米．

（1）求证：BD=BA；
（2）计算B、D之间的距离（结果精确到米）

10 . 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求证：a，b，c成等比数列；
（2）若求a+c的最大值.