1 . 已知平面上两定点A、B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为________．

3 . 已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程．

4 . 在棱长为1的正方体中，为正方体表面上的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（       ）

A．点的轨迹确定的图形是平面图形

B．点的轨迹长度为

C．的最小值为

D．当点在侧面上时，的最小值为1

5 . 如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（       ）．

A．三棱锥的体积为定值

B．存在点，使得

C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为

D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为

6 . 如图，圆柱的底面半径和母线长均为是底面直径，点在圆上且，点在母线，点是上底面的一个动点，则（       ）

A．的最小值为

B．若，则点的轨迹长为4

C．若，则四面体的外接球的表面积为

D．若，则点的轨迹长为

7 . 如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面.

(1)当时，求点的轨迹长度；
(2)当二面角的余弦值为时，求二面角的余弦值.

8 . 设，若对于任意正实数，函数的图象与曲线都有交点，则的最小值为________．

9 . 如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（       ）

A．若∥平面，则点M的轨迹长度为

B．平面与平面ABCD的夹角的正切值为

C．平面截正方体所得的截面多边形的周长为

D．不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等

10 . 已知椭圆C：，直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)点为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存在且斜率之积为，试探究直线l是否过定点，并说明理由；
(2)若．过点O作，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．