1 . 如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为______.

3 . 已知向量、不共线，夹角为，且，，，若，则的最小值为________．

4 . 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线：．当，，时，下列关于曲线的判断正确的有________．

①曲线关于轴和轴对称
②曲线所围成的封闭图形的面积小于8
③曲线上的点到原点的距离的最大值为
④设，直线交曲线于、两点，则的周长小于8

5 . 已知椭圆的焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_________.

6 . 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则以下结论：①为定值；②的周长的取值范围是；③当时，为直角三角形；④当时，的面积为．其中正确的是______．（填序号）

7 . 已知、分别是椭圆的左、右焦点，是短轴的顶点，直线经过点且与交于、两点，若垂直平分线段，则的周长是______．

8 . 给出下列命题：
①到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；
②设为两个定点，为常数且，若，则动点的轨迹是双曲线．
③对任意实数，直线总与某一个定圆相切；
④在平面内，到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．
其中真命题的序号是__________．

9 . 设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为______．

10 . 已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为__________.