1 . 已知正项数列
满足：
.
(1)设
，试证明
为等比数列；
(2)设
，试证明
；
(3)设
，是否存在
使得
为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由.
满足：.(1)设
，试证明为等比数列；(2)设
，试证明；(3)设
，是否存在使得为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由.
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解题方法
2 . 九连环是我国从古至今广为流传的一种益智玩具，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一．假设环的数量为
，解开连环所需总步数为
，解下每个环的步数为
，则数列满足：
则
______ ，
____
，解开连环所需总步数为，解下每个环的步数为，则数列满足：则
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3 . 某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有
的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有
的学生选择甲餐厅．设开学后第天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（ ）
的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（ ）A． |
B． 是等比数列 |
C．第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为 |
| D．开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次 |
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解题方法
4 . 已知等比数列
的公比为
，前项和为，下列结论正确的是（ ）
的公比为，前项和为，下列结论正确的是（ ）A．若 且 ，则是递增数列或递减数列 |
B．若是递减数列，则 |
C．任意 为等比数列 |
D．若，则存在 为等比数列 |
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5 . 已知数列的前项和
，数列
满足：
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)设数列
的前项和为
，且
，求；
(3)设数列
满足：
．证明：
．
的前项和，数列满足：．(1)证明：
是等比数列；(2)设数列
的前项和为，且，求；(3)设数列
满足：．证明：．
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2024-02-04更新
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376次组卷
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2卷引用：福建省福州第一中学2023-2024学年高二上学期第二学段模块考试数学试卷
6 . 在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群：
在一个1000人的封闭环境中，设第天
类，
类，
类人群人数分别为
．其中第1天
．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：
已知对于某类传染病有：
（即：产生抗体后永久免疫）．
(1)求
和；
(2)求证存在
，使得
是一个等比数列，并求出
和
．
| 类别 | 特征 |
| 类（Susceptible） | 易感染者，体内缺乏相关抗体，与类人群接触后易变为类人群． |
| 类（Infectious） | 感染者，可以接触类人群，并把传染病传染给类人群；康复后成为类人群． |
| 类（Recovered） | 康复者，指病愈而具有免疫力的人群，或被隔离者；若抗体存在时间有限，可能重新转化为类人群． |
天类，类，类人群人数分别为．其中第1天．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：| 日感染率 | 日治愈率 | 日消抗率 |
类 类占当天类比例 | 类 类占当天类比例 | 类 类占当天类比例 |
 |  |  |
（即：产生抗体后永久免疫）．(1)求
和；(2)求证存在
，使得是一个等比数列，并求出和．
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
7 . 在数列
中，
，且
，求 的通项公式 .
中， ，且 ，求 的通项公式 .
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8 . 已知数列的前n项和为，且
，
（
）．
(1)证明
是等比数列，并求的通项公式；
(2)若
，求数列的前n项和．
的前n项和为，且，（）．(1)证明
是等比数列，并求的通项公式；(2)若
，求数列的前n项和．
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2024高三·全国·专题练习
9 . 在数列中， 
且 
，求数列的通项公式.
中， 且 ，求数列的通项公式.
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名校
解题方法
10 . 设数列的首项
为常数
，且
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)若
中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．
(3)若是递增数列，求的取值范围．
的首项为常数，且．(1)证明：
是等比数列；(2)若
中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．(3)若
是递增数列，求的取值范围．
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2024-01-20更新
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848次组卷
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2卷引用：上海市同济大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
