1 . 已知抛物线，它的图象记为，当时，.
（1）求证：不论m为何值，抛物线都过一点P，并求出点P的坐标；
（2）求出的顶点坐标（用含m的代数式来表示）；当m的取值不同时，抛物线的顶点在抛物线上运动，求抛物线的解析式；
（3）当抛物线的顶点为抛物线与y轴的交点时，将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，与交于两点，求，的顶点及两交点所形成的四边形的面积.

2 . 如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为　 　米．
（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．

3 . 如图，抛物线与轴交于两点和与轴交于点动点沿的边以每秒个单位长度的速度由起点向终点运动，过点作轴的垂线，交的另一边于点将沿折叠，使点落在点处，设点的运动时间为秒．

（1）求抛物线的解析式；
（2）N为抛物线上的点(点不与点重合)且满足直接写出点的坐标；
（3）是否存在某一时刻，使的面积最大，若存在，求出的值和最大面积；若不存在，请说明理由．

4 . 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问：

（1）经过几秒后，△PBQ与△ABC相似．
（2）经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．

5 . 如图 1 ，在平面直角坐标系中， 点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线.
(1)平移抛物线，使平移后的抛物线经过点，但不经过点.请写出平移后抛物线的解析式 (任写一个即可).
(2)平移抛物线，使平移后的抛物线经过，两点， 记为抛物线，求抛物线的函数关系式.
(3)如图2，设抛物线的顶点为，为轴上一点.若，求点的坐标.

6 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，为原点，的边在轴上，点在轴上，点的坐标为，，，点是边上一点，，过、、三点，抛物线过点、、三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若将绕点顺时针旋转，点的对应点会落在抛物线上吗？请说明理由.
(3)若点为此抛物线的顶点，平面上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是_______.

8 . 在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　 　，点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为ts，四边形APQC的面积为ymm²．

（1）y与t之间的函数关系式；
（2）求自变量t的取值范围；
（3）四边形APQC的面积能否等于172mm²．若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．

10 . 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”
如图1，四边形ABCD中，AB＝BC，∠B+∠D＝180°（或∠A+∠C＝180°），则四边形ABCD叫做“邻等对补四边形”．
概念理解
（1）在以下四种图形中：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形；一定是“邻等对补四边形”的是　 　；（填写序号）
（2）如图2，点A、B、C是网格中格点，请找出两个格点P₁，P₂，连接P₁A、P₁C，P₂A、P₂C画出四边形P₁ABC，P₂ABC，使四边形P₁ABC，P₂ABC均为“邻等对补四边形”．
性质证明
（3）如图1，四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，连接BD，求证：BD平分∠ADC．
知识运用
（4）如图3，在“邻等对补四边形”ABCD中，满足AB＝AD，AB+BC＝6，∠ADC＝60°时，若2≤BC＜3，求四边形ABCD的面积的最大值．