1 . 如图1，中，，点分别在边上，，将绕点A逆时针旋转，直线相交于点P．

(1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段与的数量关系是        ，位置关系是           ；
(2)若，将绕点A逆时针旋转．
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由．
②若，E是的中点，当以为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长．

2 . 如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接交于点O，若，，求的长．

3 . 已知，在中，，点M为边上一点，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转α得到，连接．

(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当，时，若，求的值．

4 . 完成下列各题

(1)问题的提出：如图1，中，，求证：．
(2)知识的运用：如图2，四边形是正方形，，，点是边上一点，，且，连．求的度数．
(3)拓展与延伸：如图3，四边形中，，，，为四边形边上一点，连，若，且，探究与的数量关系．直接写出结果，不需说明理由．

5 . 如图，等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为______．

6 . （1）【问题情景】如图1，已知在正方形中，点E、F分别是边、上的一动点，连接、，且，如图，延长至G，使，通过证明和可得，即：．
（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线、上运动，时，探究、、之间的数量关系，请说明理由；
（3）【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点E、F分别在边、上运动，且，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；
（4）【拓展应用】如图4，已知是边长为5的等边三角形，点D是外一点，连接、，且，，以D为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点E、F，连接，求的周长．

7 . 如图，在菱形中，点是上一点，连接并延长分别交和的延长线于点和点，连接．

(1)求证：；
(2)连接，若，且，，求的长．

8 . 如图，在正方形中，，是对角线上两点，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．求证：．

9 . 把两个等腰直角三角形和按图①所示的位置摆放，将绕点C逆时针旋转（）到图②所示位置，连接，．

(1)特例问题：如图①，与的数量关系是_____________，与的位置关系是_____________；
(2)探索解决：如图②，（1）中与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展应用：如图③，点D在内部，若，，，求线段的长．

10 . 如图，在正方形中，、是和上的动点，连接，，交于，两点，．

(1)当时，①求的度数；
②求以为边的正方形面积．
(2)当、在，上运动时，始终保持，连接，则面积的最小值为____．