1 . 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．

2 . 已知：是等腰直角三角形，点E在斜边所在的直线上，连接，以为腰作等腰直角三角形，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．

   

(1)如图①，当点E在线段上时，求证：；
(2)如图②，当点E在线段延长线上时，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
(3)当点E在线段延长线上时，试判断四边形的形状，并说明理由．

3 . 如图，已知为等腰直角三角形，，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为上一动点，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，的最小值是________．

4 . 如图，在边长为6的等边中，点E，F分别是边上，且，连接交于点P，则的长为______．

5 . 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，D为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？
小明说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”；
小强说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段，，数量关系”．
小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．
请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段，，的数量关系．
【类比分析】
（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．
如图3，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．．
【学以致用】
（3）如图4，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积．

6 . 如图，在矩形中，，，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（       ）

A．3

B．

C．4

D．

7 . （1）问题背景：如图（1），，都是等边三角形，可以由通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转角（写锐角）的大小、旋转方向；
（2）尝试应用：如图（2），在中，，分别以，为边，作等边和等边，连接，并延长交于点，连接，若，求的值；
（3）拓展创新：如图（3），在四边形中，，，，求的长．

8 . 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF、BE、EF，若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为_______．

9 . 如图，在中，．点D在上且．连接，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是 __．

10 . 问题提出
已知是等边三角形，将等边三角形（A，D，E三点按逆时针排列）绕顶点A旋转，且平移线段使点A与顶点C重合，得到线段，连接．
观察发现
（1）如图1，当点E在线段上，猜想的形状       ；
探究迁移
（2）如图2，当点E不在线段上，（1）中猜想的结论是否依然成立；
拓展应用
（3）若，，在绕着点A旋转的过程中，当时，求的长．