1 . 【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ___________；
【类比探究】（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为12，，请直接写出的面积．

2 . 如图，在△ABC中，，，点在边上，，分别为，的中点，连接．过点作的垂线，与，分别交于，两点．连接，交于点．有以下判断：①；②，且； ③当时，的面积为9；④的最大值为．其中正确的是（　　）

A．①③

B．①③④

C．①②④

D．①②③④

3 . 如图，正方形的边长为5，点E为正方形边上一动点，过点B作于点P，将绕点A逆时针旋转得，连接．

(1)求证：；
(2)若，求线段的长度．

4 . 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：

(1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________
(2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上；
(3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长．

5 . 如图，四边形是正方形，边长为2，点E，F分别是，上的动点，且，则的最小值为____________．

6 . 【探索发现】
如图1，是等边三角形，点D为边上一个动点，将绕点A逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形．

（1）请帮小明写出证明过程；
（2）直接写出线段之间的数量关系：       ；
【理解运用】
如图2，在中，于点D．将绕点A逆时针旋转得到，延长与交于点G．
（3）判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展迁移】
（4）在（3）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，求的长．

7 . 我们知道：在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？如图，通过观察发现：在中，大于，边所对的大于边所对的．为了证明这一发现，解决思路是构造全等三角形将转化为一个三角形的外角，利用三角形的外角大于不相邻的内角使问题得以证明．
请根据以上思路，完成以下作图与填空：

已知：如图，中，．求证：．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹）
（2）证明：∵平分，
∴__________．
在和中，，
∴，
∴__________，
∵__________，
∴．

8 . （1）提出问题：如图1，在和中，，，，连，连并延长，交于点，①的度数是________；②________；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连，连并延长，交延长线于点，①的度数是________；②________．
（3）迁移应用：如图3，在等边中于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，在平面内将绕着点顺时针旋转一定角度得到图4，为的中点，为的中点．①求证：在图4情况下的形状是等腰三角形；②求的度数．

9 . 如图，梯形中，，垂足分别为，且，，动点P从点C出发，沿的方向以每秒1个单位长度的速度运动到点D停止，设运动时间为t秒，，则y与t之间的函数图象大致是（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，在四边形中，于点E，，点M为中点，N为线段上的点，且．

(1)求证：平分；
(2)连接，若，当四边形为平行四边形时，求线段的长．