1 . 如图，点C为线段上一点，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点F，使，连接，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，的延长线恰好经过的中点G，求的长．

2 . 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．

(1)如图1，连接，求的度数和的值；
(2)如图2，当点在射线上时，求线段的长；
(3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．

3 . 如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为________．

4 . 如图，中，，点在上，且，为上任意一点，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为_______．

5 . 【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，连接．试探究、、之间的数量关系．
小明的思路是：他发现和互补，推得，于是想到延长到点，使，连接．从而得到，然后证明，不难得到、、之间的数量关系是______；
【问题变式】（2）如图2，四边形中，，，连接，试探究、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】（3）如图3，四边形中，，，，连接，若，求四边形的面积．（直接写出结果）

   

6 . 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______；
(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长．

7 . 如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

   

(1)在图1中的上找一点，连接，使得．
(2)在图2中的上找一点，连接，使得．

8 . 如图，已知矩形．

(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点分别在边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）
(2)若，求菱形的周长．

9 . 如图，已知在中，点D在边上，且．

(1)用尺规作图法，作的平分线，交于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，连接、求证：．