1 . 如图，
是
的直径，
，E是
的中点，连结
并延长到点F，使
．连结
交于点D，连结
，
．是的切线．
(2)若
，求的长．
是的直径，，E是的中点，连结并延长到点F，使．连结交于点D，连结，．
是的切线．(2)若
，求的长．
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解题方法
2 . 如图1，在等腰三角形
中，
，
，点
分别在边
上，
，连接
，点
分别为
的中点．
图
中，线段
与
的数量关系是_______，
的大小是_______；
(2)探究证明：
把
绕点
顺时针方向旋转到图
的位置，连接
，判断
的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若
，
，请直接写出面积的最大值．
中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．
图
中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；(2)探究证明：
把
绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；(3)拓展延伸：
把
绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
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2024-04-04更新
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408次组卷
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7卷引用：抢分秘籍11 几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（4题型）-备战2024年中考数学抢分秘籍（全国通用）
（已下线）抢分秘籍11 几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（4题型）-备战2024年中考数学抢分秘籍（全国通用）广东省深圳市南山区部分学校 2022-2023学年九年级下学期教学质量第一次调研数学试题（已下线）专题04 全等三角形模型训练（6类经典模型+优选提升）-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）（已下线）12.4(培优课)全等中的手拉手模型(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）2024年广东省深圳市 南山外语中学、南山外语第二中学中考一模数学试题2024年湖北省恩施市熊家岩初级中学中考一模数学试题（已下线）专题6.13 平行四边形（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
3 . 如图1，已知四边形
和
都为正方形，且边
在边
上，连接
，．
(1)猜想与有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
(2)将正方形绕点
按逆时针方向旋转，使得顶点
落在
边的延长线上，如图2，连接，，那么（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．
和都为正方形，且边在边上，连接，．(1)猜想
与有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论；(2)将正方形
绕点按逆时针方向旋转，使得顶点落在边的延长线上，如图2，连接，，那么（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．
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4 . 如图，、
是的弦，连接
、
并延长，分别交弦、于点
、
，
．求证：
．
、是的弦，连接、并延长，分别交弦、于点、，．求证：．
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5 . 【材料阅读】如图1，在△ABC中，设
的对边分别为a，b，c，过点A作
，垂足为D，会有
，则
=
，即
，同理
，
．有以上三式可得：正弦定理：
，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理：如图2，在
中，设的对边分别为a，b，c，则①
②
③
用以上的公式和定理解决问题：
【简单应用】（1）在锐角中，设的对边分别为a，b，c，且
，求
；
（2）如图3，在
中，
，
，求的面积与周长．
【灵活应用】（3）如图4，在中，角
所对的边分别为
，已知
，的面积为
，设
为
的中点，且
，求的周长．（参考数据：
）
的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得：正弦定理：，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理：如图2，在中，设的对边分别为a，b，c，则① ②
③ 用以上的公式和定理解决问题：
【简单应用】（1）在锐角
中，设的对边分别为a，b，c，且，求；（2）如图3，在
中，，，求的面积与周长．【灵活应用】（3）如图4，在
中，角所对的边分别为，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长．（参考数据：）
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6 . 【观察发现】
（1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点
为正方形外一动点，且满足
，连接
．若正方形边长为4，则
的最大值为______；
（2）如图2，已知和都是等边三角形，连接
，求证：
；
【拓展应用】
（3）如图3，某地有一个半径为
的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆
的直径，在半圆上（不与
重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形
区域，开发成垂钓中心，要求
为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
（1）如图1，在正方形
中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______；（2）如图2，已知
和都是等边三角形，连接，求证：；【拓展应用】
（3）如图3，某地有一个半径为
的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
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7 . 如图，
直线
于点
，点
在直线上（不与点重合），连接，将线段
绕点顺时针旋转
，得到线段，连接
，点是的中点，连接，
，当
是等腰三角形时，
_______ ．
直线于点，点在直线上（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，点是的中点，连接，，当是等腰三角形时，
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2024-04-01更新
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449次组卷
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4卷引用：辽宁省锦州市第八中学2023-2024学年九年级下学期101行动计划终极性评价（零模）数学模拟预测题
辽宁省锦州市第八中学2023-2024学年九年级下学期101行动计划终极性评价（零模）数学模拟预测题2024年辽宁省锦州市第八初级中学九年级中考一模数学模拟试题（已下线）考前特训02 图形变化类选题压轴（翻折、旋转、平移）--2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（已下线）抢分通关02 几何图形选填压轴题（含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题，2易错+5题型）-备战2024年中考数学抢分秘籍（全国通用）
8 . 【初步感知】上，若
，则锐角
的大小为______度；
【深入探究】
（2）如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在
上（点P不与点A，C重合），连接
，
，
．求证：
；小明发现，延长至点E，使
，连接，通过证明
．可推得
是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
（3）如图3，是的外接圆，
，
，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若
，则
的值为_____．
上，若，则锐角的大小为______度；【深入探究】
（2）如图2，小明遇到这样一个问题：
是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接，，．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程．【启发应用】
（3）如图3，
是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若，则的值为_____．
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2024-04-01更新
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311次组卷
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4卷引用：抢分秘籍10 圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题（压轴通关8题型）-备战2024年中考数学抢分秘籍（全国通用）
（已下线）抢分秘籍10 圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题（压轴通关8题型）-备战2024年中考数学抢分秘籍（全国通用）2024年山东省济宁市汶上县中考二模数学模拟试题广东省揭阳市惠来县2023-2024学年九年级下学期期中（中考模拟）数学试题2024年广东省揭阳市惠来县中考一模数学试题
9 . 在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知是边长为2的等边三角形．为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转
得到线段
，连接，则的长为________；
(2)【探究应用】如图
为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若
三点共线，求证：
平分
；
(3)【拓展提升】如图3，若是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段
，连接．请求出点在运动过程中，
的周长的最小值．
是边长为2的等边三角形．
为线段上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的长为________；(2)【探究应用】如图
为内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若三点共线，求证：平分；(3)【拓展提升】如图3，若
是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．请求出点在运动过程中，的周长的最小值．
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10 . 如图1，在四边形
中，
，点为线段
上一点，使得
，
，此时
，连接，
，且
．的长度；
(2)如图2，点为线段上一动点（点不与，重合），连接，以为斜边向右侧作等腰直角三角形
．
①当
时，试求的长度；
②如图3，点
为的中点，连接
，试问是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
中，，点为线段上一点，使得，，此时，连接，，且．
的长度；(2)如图2，点
为线段上一动点（点不与，重合），连接，以为斜边向右侧作等腰直角三角形．①当
时，试求的长度；②如图3，点
为的中点，连接，试问是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
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