1 . 如图1，在正方形中，，O是边的中点，E是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接．

(1)求证：；
(2)求 的面积的最小值；
(3)如图2，若A，E，O三点共线，求点 F到直线的距离．

2 . 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是　　　　　；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为　　　　，线段的数量关系是　　　　．
(2)迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．

3 . 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．

5 . 如图，已知矩形．

(1)用无刻度的直尺和圆规作菱形，使点分别在边上，（不写作法，保留作图痕迹，并给出证明．）
(2)若，求菱形的周长．

6 . 如图，四边形是正方形， 点分别在的延长线上， 且，设． 给出下面三个结论：①；②；③上述结论中，所有正确结论的序号是（     ）

A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③

7 . 如图，在正六边形内部以为边作正方形，连接．

（1）______；
（2）若，则点到的距离为______．

8 . 在四边形 中， ，， ， ，， 作 于点 ， 在中， ，，，将按如图 1 放置，此时与 重合，然后将 沿平移至点与点 重合，再改变的位置，如图 3， 将顶点沿 移动至点， 并使点 始终在上．

   

(1)求证： ；
(2)如图， 当线段经过点时， 求 的长；
(3)若点在上运动，交于点．
当 于点时， 求的长；
设 ，请直接用含的式子表示的长，并直接写出长的最小值．

9 . 在中，，点D（与点B、C不重合为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．

(1)如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
(2)如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
(3)若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示）

10 . 已知，点是射线上一点，过点作，点是平面内一动点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（点不与点重合）．连接．取的中点，连接．

(1)如图1，当点落在线段上时：
①求证：；
②直接写出直线与直线相交所成的较小角的度数为______．
(2)如图2，当点落在平面内其他位置时，是否仍然成立？若成立，请就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)若，当点在同一条直线上时，请直接写出线段的长．