1 . 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；
(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长．

2 . 已知，在中，．

(1)【模型识别】：
如图1，已知点D在边上，，连接．求证：；
(2)【类比迁移】：
如图2，已知点D在下方，，连接．若， ，，交于点F，求的长；
(3)【方法应用】：
如图3，已知点D在上方，连接和，与相交于点F，若，，求的面积．

3 . 如图，是的直径，，是的弦，过圆心作的平行线与过点的切线交于点，与交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．

4 . 如图，在平行四边形中，点，在对角线上，且．

(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并说明理由．

5 . 问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为       ；
探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长．

   

6 . 如图，点 A、D、C、B 在同一条直线上，，，求证：

(1)；
(2)四边形是平行四边形．

7 . 点P在平面内一动点，，，点M是上一点，且，连接，则的最小值为__________．

8 . 如图，在中，，，P是的中点，若点D在直线上运动，连接，以为腰，向的右侧作等腰直角三角形，连接，则在点D的运动过程中，线段的最小值为________．

9 . 如图，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，

   

(1)如图1，连接，，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接，，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积；
(3)如图3，连接、，点E为的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由．

10 . 如图，点P在等边内，点在外，分别连结接，．

   

(1)求证：；
(2)连接，求证：是等边三角形．