1 . 如图，在中，，点D为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，且，得到线段，连接，其中交于点F，当为直角三角形时，的长为______．

2 . 【问题发现】如图1所示，将绕点A逆时针旋转得，连接、．根据条件填空：①的度数为______；②若，则的值为______；
【类比探究】如图2所示，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且满足，求正方形的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形中，，，为对角线，且满足，若，请直接写出的值．

3 . 在四边形中， 于点， ，点为中点，为线段上的点，且．

(1)如图①，求证： ；
(2)如图②，连接，若 ，当四边形为平行四边形时，求的长；
(3)如图③，若点为的中点，连接、，求证：．

5 . 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______．

6 . 如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为________．

7 . 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是　　　　　；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为　　　　，线段的数量关系是　　　　．
(2)迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．

8 . 如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（       ）

A．

B．

C．5

D．

9 . 如图，和均为等边三角形，其中D，E分别为和的中点，点在上．若，则（       ）

A．1

B．

C．2

D．

10 . 如图，是等边三角形，是边上一点，连接．

(1)请用无刻度的直尺和圆规在的上方作等边（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，求证：．