1 . 在四边形中，交于点，点是上一动点．
   
图1图2图3
(1)如图1，若四边形为菱形，且，在的右侧作等边三角形，直接写出与的数量关系：______．
(2)如图2，若四边形为正方形，在的右侧作等腰直角三角形，且，连接与之间有怎样的数量关系？请通过计算或证明进行说明．
(3)如图3，点是边长为的正方形对角线延长线上一点，在的右侧作等腰直角三角形，且，连接，若，则的面积为______．

4 . 【了解概念】
折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点．

【概念应用】
（1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______；
【认识定理】
爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
【证明定理】
证明：如图3，在上截取，连接，，和．
是的中点，


……

（2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分；
【灵活运用】
（3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长．