1 . 如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为________．

2 . 如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（       ）

A．

B．

C．5

D．

3 . 如图，和均为等边三角形，其中D，E分别为和的中点，点在上．若，则（       ）

A．1

B．

C．2

D．

4 . 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是　　　　　；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为　　　　，线段的数量关系是　　　　．
(2)迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．

5 . 如图，是等边三角形，是边上一点，连接．

(1)请用无刻度的直尺和圆规在的上方作等边（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，求证：．

6 . 如图，中，．

(1)请用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与边交于点，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：．

7 . 如图，在中，，，，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接，，，，，．

(1)求证：；
(2)的最小值为______；
当取得最小值时，求证：．
(3)如图，，，分别是，，的中点，连接，，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．

8 . 如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．

(1)连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
(2)点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？
(3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数．

9 . 如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是_____．

10 . 如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（       ）

A．

B．

C．

D．