1 . 如图，在中，为线段上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作射线．

(1)求证：，并求的度数；
(2)若F为中点，连接，连接并延长，交射线于点G，当时．
①求的长；
②直接写出的长．

2 . 如图①是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．

(1)在旋转过程中．
①当、、三点在同一直线上时，的长为________；
②当、、三点为同一直角三角形的顶点时，的长为________；
(2)若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连接．如图②，此时，，求的长．

3 . 如图1．

(1)已知和均为等边三角形，D在上，E在上，易得线段和的数量关系是______．
(2)将图1中的绕点C旋转到图2的位置，直线和直线交于点F．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中求的度数．

4 . 已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明．

5 . 如图1，在中，为锐角，点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．

(1)如果，，
①当点D在线段上时（与点B不重合），如图2，线段、所在直线的位置关系为___________，线段、的数量关系为___________；
②当点D在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(2)如果，是锐角，点D在线段上，当满足什么条件时，（点C、F不重合），并说明理由．

6 . 在扇形中，，半径，点P为上任一点（不与A、O重合）．

(1)如图1，Q是上一点，若，求证：．
(2)如图2，将扇形沿折叠，得到O的对称点．
①若点落在上，判断的形状并求的长．
②当与扇形所在的圆相切时，折痕的长为___________．

7 . 如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明．
探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结．

(1)求的度数；
(2)若，，则线段的长是多少？
(3)为中点，当绕点A逆时针旋转时，直接写出的最大值______．

8 . 如图，中，，，E、F分别是，上的点，且，连接交于O．

(1)求证：；
(2)若，延长交的延长线于G，当时，求的长．

9 . 把两个等腰直角和按如图1所示的位置摆放，，将绕点按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为．

(1)求证：．
(2)如图3，若点在线段上，且，，求的长．
(3)当旋转角       时，的面积最大．

10 . 如图，在中，，，以点O为圆心，2为半径画圆，过点A作的一条切线，切点为P，连接．将绕点O按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为（）．

(1)如图，当时，
①求证：是的切线；
②点H到的距离；
(2)已知，在旋转过程中，当与相切时，求旋转角的度数；
(3)直接写出的最大值与最小值的差．