1 . 如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是（       ）

A．23

B．16

C．22

D．15

3 . 如图，正方形的边长为5，点E为正方形边上一动点，过点B作于点P，将绕点A逆时针旋转得，连接．

(1)求证：；
(2)若，求线段的长度．

4 . 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：

(1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________
(2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上；
(3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长．

5 . 如图，四边形是正方形，边长为2，点E，F分别是，上的动点，且，则的最小值为____________．

6 . 【探索发现】
如图1，是等边三角形，点D为边上一个动点，将绕点A逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形．

（1）请帮小明写出证明过程；
（2）直接写出线段之间的数量关系：       ；
【理解运用】
如图2，在中，于点D．将绕点A逆时针旋转得到，延长与交于点G．
（3）判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展迁移】
（4）在（3）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，求的长．

7 . 如图1，在中，，，点D是的中点，是内的一条射线，点E，F都是上的点，已知且，连接，．

(1)求证：；
(2)设与交于点O，求证：；
(3)如图2，当射线在外部时，其他条件不变，探索，和之间的数量关系，并加以证明．

8 . 如图，在中，，是直线上的两点，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，且，求的长．

9 . 我们知道：在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？如图，通过观察发现：在中，大于，边所对的大于边所对的．为了证明这一发现，解决思路是构造全等三角形将转化为一个三角形的外角，利用三角形的外角大于不相邻的内角使问题得以证明．
请根据以上思路，完成以下作图与填空：

已知：如图，中，．求证：．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹）
（2）证明：∵平分，
∴__________．
在和中，，
∴，
∴__________，
∵__________，
∴．

10 . （1）提出问题：如图1，在和中，，，，连，连并延长，交于点，①的度数是________；②________；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连，连并延长，交延长线于点，①的度数是________；②________．
（3）迁移应用：如图3，在等边中于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，在平面内将绕着点顺时针旋转一定角度得到图4，为的中点，为的中点．①求证：在图4情况下的形状是等腰三角形；②求的度数．