1 . 如图，等腰直角中，，，为中点．点为射线上的一个动点，以为直角边向右上方构造等腰直角，，连接．在点的运动过程中，长度的最小值是______．

2 . 如图，在正方形中，，是对角线上两点，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．求证：．

3 . 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．

(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．

4 . 如图，在中，，点，分别是和的中点．求证：．

5 . 已知与都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上．

   

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，求证．

6 . 以为边分别作正方形，连接

(1)利用旋转的观点，在此题中，绕着______点旋转______度可以得到______
(2)与相等吗？请说明理由．
(3)与互相垂直吗？请说明理由．

7 . 如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为_______．

8 . 【问题情境】
（1）如图1，已知是正方形，是对角线上一点，求证：；请你完成证明．

【深入探究】
（2）如图2，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为．，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想．

  【拓展应用】
（3）如图3，在正方形中，若，是上一点，过点作于，于．则最小值为_______．

9 . 如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，与相交于点G，若．

(1)求证：；
(2)求的长．

10 . 如图，中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形．