1 . 如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为竖直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为L图形，记作L图形ABCDEF．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF，矩形GBCD，这两个矩形的对称中心，所在直线是该L图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）．

【思考】如图3，直线是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ          （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．
【应用】在L图形ABCDEF中，已知AB＝4，BC＝6．如图4，CD＝AF＝1
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为         ．

3 . 已知正方形与正方形，是的中点，连接，．

(1)如图，点在上，点在的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
(2)如图，点在的延长线上，点在上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)将图中的正方形绕点旋转，若，，直接求出面积的最大值______ 和最小值______ ．

4 . 在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．
   
(1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：；
(2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方．

5 . 综合与实践：
动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）斜边AB的中点处
发现结论：
   
（1）如图1，三角板的两边，分别与另一块三角板的边，交于点P，Q（规定：此时点P，Q均在边，上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化．
问题解决：
①请你帮他们说明的理由；
②若，请你帮他们求出四边形的面积．
拓展延申：
（2）如图2，连接，当，，那么直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值．

7 . 等边的边长为，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，与，分别相交于，，绕点顺时针旋转时，下列四个结论：①；②；③周长最小值是；④面积最大值是．其中正确的是______．

8 . 一副三角板如图摆放，点是45°角三角板的斜边的中点，．当30°角三角板的直角顶点绕着点旋转时，直角边，分别与，相交于点，．在旋转过程中有以下结论：①；②四边形有可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变：⑤面积的最大值为2，其中正确的个数是（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

9 . 在中，，，是边上一点，连接．

(1)如图1，是延长线上一点，与垂直．求证：；
(2)如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；
(3)如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得，，对应点分别是，，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值．

10 . 如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的顶点A（4，0），顶点C（0，3），点D为BC边上一动点，设CD的长为m，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，在点D运动过程中，探究以下问题：
（1）①当点D与点C重合时，点E的坐标为　 　；
②用含m的代数式表示点E的坐标为　 　；
③连接OE，OE长度的最大值是　 　最小值是　 　；
（2）三角形ABF的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由；
（3）当△BEF为等腰三角形时，写出所有m的值．