1 . 如图，已知在矩形中，M，N分别是边的中点，E，F分别是线段的中点，求证：四边形是菱形．

2 . 我们定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形．

(1)请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子．
(2)如图1，，，，分别是四边形的边，，，的中点，已知四边形是菱形，求证：四边形是和美四边形；
(3)如图2，四边形是和美四边形，对角线，相交于，，、分别是、的中点，求与之间的数量关系．

3 . 如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点．

(1)求证：与相切；
(2)求出与的数量关系，并说明理由．

4 . 如图，在中，点D是边的中点，点F、G在边上，交于E，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．

6 . 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明．

(1)如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且；
(2)如图2，四边形中，点M是边的中点，点N是边的中点，若，，，直接写出的长．

7 . 如图，在中，，于D，作于E，F是中点，连接交于点G，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的值．

8 . 如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，则应添加的条件是（　　）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，是的直径，交的中点于D，．求证：是的切线．

10 . 如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形．