1 . 已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数
的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
．(1)讨论函数
的单调性；(2)若函数
有两个极值点，（ⅰ）求实数
的取值范围；（ⅱ）证明：函数
有且只有一个零点．
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2024-04-20更新
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1408次组卷
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2卷引用：浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题
2 . 已知函数
，若数列
的各项由以下算法得到：
①任取
（其中
），并令正整数
；
②求函数图象在
处的切线在
轴上的截距
；
③判断
是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；
④令
，返回第②步；
⑤结束算法，确定数列的项依次为
．
根据以上信息回答下列问题：
(1)求证：
；
(2)是否存在实数
使得为等差数列，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．参考数据：
．
，若数列的各项由以下算法得到：①任取
（其中），并令正整数；②求函数
图象在处的切线在轴上的截距；③判断
是否成立，若成立，执行第④步；若不成立，跳至第⑤步；④令
，返回第②步；⑤结束算法，确定数列
的项依次为．根据以上信息回答下列问题：
(1)求证：
；(2)是否存在实数
使得为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考数据：．
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3 . 已知
，函数
，
.
(1)若函数
的减区间是
，求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)若方程
在
上恰有两个不同的解，求实数
的取值范围.
，函数，.(1)若函数
的减区间是，求的值；(2)讨论
的单调性；(3)若方程
在上恰有两个不同的解，求实数的取值范围.
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4 . 已知函数
.
(1)若函数
有两个零点，求实数a的取值范围；
(2)已知
，
，
（其中
且
，
，
成等比数列）是曲线
上三个不同的点，判断直线AC与曲线在点B处的切线能否平行？请说明理由.
.(1)若函数
有两个零点，求实数a的取值范围；(2)已知
，，（其中且，，成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线AC与曲线在点B处的切线能否平行？请说明理由.
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名校
5 . 超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：
（
，
，…，
，
）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率
是超越数．回答下列问题：
已知函数
（
）只有一个正零点．
(1)求数列
的通项公式；
(2)（ⅰ）构造整系数方程
，证明：若
，则
为有理数当且仅当
．
（ⅱ）数列中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
（，，…，，）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率是超越数．回答下列问题：已知函数
（）只有一个正零点．(1)求数列
的通项公式；(2)（ⅰ）构造整系数方程
，证明：若，则为有理数当且仅当．（ⅱ）数列
中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
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6 . 已知函数
．
(1)若
，讨论的单调性；
(2)若关于x的方程
有且只有一个解，求a的取值范围．
．(1)若
，讨论的单调性；(2)若关于x的方程
有且只有一个解，求a的取值范围．
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7 . 对于函数
，
，若存在
，使得
，则称
为函数的一阶不动点；若存在，使得
，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的
阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为
和
，即
，
．
(1)若
，证明：集合中有且仅有一个元素；
(2)若
，讨论集合的子集的个数．
，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，．(1)若
，证明：集合中有且仅有一个元素；(2)若
，讨论集合的子集的个数．
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8 . 已知函数
(1)若
，求函数的严格减区间
(2)若方程
在实数集上有四个解，求实数的取值范围
(3)若
，数列满足
．是否存在使得数列
严格递减？存在的话．求出所有这样的；不存在的话．说明理由
(1)若
，求函数的严格减区间(2)若方程
在实数集上有四个解，求实数的取值范围(3)若
，数列满足．是否存在使得数列严格递减？存在的话．求出所有这样的；不存在的话．说明理由
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9 . 已知函数
．
(1)当时，求函数的最大值
(2)若函数有两个不同零点，求实数的取值范围
(3)设
，数列的前项和为
．证明：
．(1)当
时，求函数的最大值(2)若函数
有两个不同零点，求实数的取值范围(3)设
，数列的前项和为．证明：
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名校
10 . 已知函数
．
(1)当
时，求函数的极值．
(2)若函数
有两个零点
，试判断
的正负并证明．
．(1)当
时，求函数的极值．(2)若函数
有两个零点，试判断的正负并证明．
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