2 . 已知双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，实半轴长为，过右焦点的直线与其中一条渐近线垂直且垂足为，的面积为．
(1)①；
②以为圆心，为直径的圆与直线所截得的弦长为2；
③．
从上面三个条件选择一个条件进行解答，当最大时，求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左、右顶点分别为，在（1）的条件下，过点的直线与双曲线右支交于点，过点的直线与双曲线左支交于点，，设，的面积分别为，求的值．

4 . 已知双曲线，，设点在上，点为坐标原点.
(1)若，求的最小值；
(2)设点在上，直线、分别与相切于点，对于给定的、，在以下结论中选择一个正确的结论（多选的按第一个给分），并加以证明：
①和的面积之和为定值；
②和的面积之差的绝对值为定值；
③直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为定值.

5 . 已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

6 . 已知函数．
(1)若是的极值点，求a；
(2)若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．
①当时，；②当时，．
注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分．

9 . 已知函数，其中为自然对数的底数，
(1)若对，恒成立，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，
（i）证明：有三个根；
（ii）设，请从以下不等式中任选一个进行证明：
①；②.
参考数据：，，

10 . 已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）