1 . 已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.

2 . 已知函数．
(1)若函数在处取得极值，求的单调区间；
(2)若，证明：当时，．

3 . 已知椭圆的两焦点分别为，椭圆上的动点满足分别为椭圆的左，右顶点.

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与直线交于点（异于点），为坐标原点，求证：.

4 . 已知抛物线的焦点为,直线:与抛物线交于两点,且(为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)求证:直线恒过定点.

5 . 已知过点的抛物线的顶点在原点，焦点在轴上.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线：与抛物线相交于，两点，记直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.

6 . 如图，已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；
(2)设点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交曲线于、两点，直线，的斜率分别是，，证明：为定值.

7 . 已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，证明：不等式在上恒成立．

8 . 已知抛物线，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，直线与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为和，求证：为定值．

9 . 已知抛物线与直线相切.

(1)求抛物线的方程；
(2)设为抛物线的准线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，证明：.

10 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．