1 . 已知各项均为整数的无穷数列
满足：
、
、
，
，
，
，
，
，
证明：对任何大于1的正整数
，存在无穷多个正整数
，使得
.
满足：、、，，，，，，证明：对任何大于1的正整数
，存在无穷多个正整数，使得.
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2 . 在
方格表中的每个方格内填入一个“
”号或“
”号.若一个有序整数组
具有以下性质：
（i）
；
（ii）
；
（iii）在上述
方格表中的第
列的每个方格中“”（或“”）号后添上
，使得第
行的数之和为
.则称为“优数组”，证明：至少存在四个不同的优数组.
方格表中的每个方格内填入一个“”号或“”号.若一个有序整数组具有以下性质：（i）
；（ii）
；（iii）在上述
方格表中的第列的每个方格中“”（或“”）号后添上，使得第行的数之和为.则称为“优数组”，证明：至少存在四个不同的优数组.
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3 . 给定大于1的正整数
，对任何正整数，若它的进制表示中没有数字零，则称其为“
充实的”．那么，
中充实的自然数的个数为____ .
，对任何正整数，若它的进制表示中没有数字零，则称其为“充实的”．那么，中充实的自然数的个数为
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4 . 试求所有满足下列条件的数列的个数:
(1)各项是不小于2的整数;
(2)所有各项的和等于定值.
(1)各项是不小于2的整数;
(2)所有各项的和等于定值
.
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5 . 从1至144的自然数中,任意取出三个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法种数是______ .
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6 . 一个五位数中只有1、3、5这三个不同的数字.则这样的五位数共有______ 个.
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7 . 有一种特别列车，沿途共有
个车站（包括起点与终点），因安全需要，规定在同一车站上车的旅客不能在同一车站下车．为了保证上车的旅客都有座位（每位旅客一个座位），则列车至少要安排个座位．
个车站（包括起点与终点），因安全需要，规定在同一车站上车的旅客不能在同一车站下车．为了保证上车的旅客都有座位（每位旅客一个座位），则列车至少要安排个座位．A． | B．100 | C．110 | D．120 |
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8 . 甲、乙两人做下面的游戏：有一个由两个同轴圆柱组成的有盖容器，如图，里面的实心圆柱底面半径为
，外面的圆柱面的底面半径为
，容器的高为
．在容器内放入
个半径为且质地相同的小球，其中红、黄、蓝色各
个，随意翻动容器，然后将容器直立在桌面上．当小球全部停止后，如果有两个颜色相同的小球相邻，则甲胜，否则乙胜．那么，甲胜的概率为．
，外面的圆柱面的底面半径为，容器的高为．在容器内放入个半径为且质地相同的小球，其中红、黄、蓝色各个，随意翻动容器，然后将容器直立在桌面上．当小球全部停止后，如果有两个颜色相同的小球相邻，则甲胜，否则乙胜．那么，甲胜的概率为．A． | B． | C． | D． |
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9 . 一平面上有32个点，其中无三点共线．证明：在这32个点中至少能找到2135个四点组，形成凸四边形的四个顶点．
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10 . 某班教室桌椅6排7列，有40名同学．空出最后一排的某两个位置，其余人按身高和视力排座位．班中有24人身高高，有18人视力好，其中，有6名同学同时具备此两个条件．已知若一名同学个子矮视力又不好，则他必须坐在前三排；若一名同学个子高视力又好，则他必须坐在最后三排．设排座位的方法是
，则的质因数分解中的2的次数是______ ．
，则的质因数分解中的2的次数是
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