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解题方法
1 . 在
中，
分别为内角
所对的边，且满足
．
(1)求角
的大小；
(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，并以此为依据求的面积．（注：只需写出一个选定方案即可）
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
中，分别为内角所对的边，且满足．(1)求角
的大小；(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得
存在且唯一，并以此为依据求的面积．（注：只需写出一个选定方案即可）条件①：
；条件②：；条件③：．
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2 . 新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为
）；
工序的加工质量层次为高，
工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为
）；其余均为95级（表示最低过滤效率为
）．表①：表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②：表示加工一个口罩的利润．
表①
表②
(1)设
表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望；
(2)随机抽取3个口罩，求至少有一个口罩为100等级的概率；
(3)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了
元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了
；试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则
与应该满足怎样的关系？（直接写出结果）
三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）．表①：表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②：表示加工一个口罩的利润．表①
| 工序 | |  | |
| 概率 |  |  |  |
| 口罩等级 | 100等级 | 99等级 | 95等级 |
| 利润/元 | 2.3 | 0.8 | 0.5 |
表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望；(2)随机抽取3个口罩，求至少有一个口罩为100等级的概率；
(3)由于工厂中
工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了；试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系？（直接写出结果）
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3 . 某省实行高考科目“
”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为，
五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为
，其中
分别表示原始分区间的最低分和最高分，
分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，
表示考生的原始分，
表示考生的等级分，规定原始分为
时，等级分为
，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，其频率分布直方图如图：
(2)根据频率分布直方图，按分层抽样抽取一个容量为100的样本，求其中D等级中化学成绩原始分不及格（低于60分）的人数（写出解答过程）；
(3)填空：
用估计的结果近似代替原始分区间，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为______，按照等级分赋分规则，估计原始分为87.5时对应的等级分数为______.
”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为，五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级 |
|
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|
|
|
人数比例 |
|
|
|
|
|
赋分区间 |
|
|
|
|
|
，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，其频率分布直方图如图：
(2)根据频率分布直方图，按分层抽样抽取一个容量为100的样本，求其中D等级中化学成绩原始分不及格（低于60分）的人数（写出解答过程）；
(3)填空：
用估计的结果近似代替原始分区间，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为______，按照等级分赋分规则，估计原始分为87.5时对应的等级分数为______.
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解题方法
4 . 某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”．有以下两种方案：
方案一：决定不乘第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车．
方案二：直接乘坐第一辆车．
若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为
，则（ ）
方案一：决定不乘第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车．
方案二：直接乘坐第一辆车．
若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为
，则（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2023-04-06更新
|
311次组卷
|
4卷引用：2017年清华大学THUSSAT附加科目测试数学试题（二测）
2017年清华大学THUSSAT附加科目测试数学试题（二测）（已下线）四川省巴中市2023届高三“一诊”考试数学（理）试题变式题6-10广西南宁市第三中学2023届高三一模测试数学（理）试题（已下线）第十章概率（知识通关）(1)【单元测试卷】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教A版2019必修第二册)
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5 . 最美人间四月天，赏花踏青正当时. 某中学高二年级三个班级去国家植物园、圆明园、奥林匹克森林公园、香山四个公园观赏海棠花，若国家植物园必须有班级要去，除此之外去哪个公园可自由选择，则不同的分配方案共有（ ）
| A．16种 | B．18种 | C．37种 | D．48种 |
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2023-06-14更新
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499次组卷
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5卷引用：北京市第十九中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
北京市第十九中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题北京市第八十中学2023-2024学年高二下学期3月阶段测评数学试题（已下线）模块一 专题3 计数原理 (人教A）（已下线）模块一 专题1 计数原理 (北师大2019版）（已下线）模块一 专题2 计数原理 (苏教版）
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6 . 某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度
.
(1)求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率
(2)若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式一回答问卷的人数，求的数学期望；
(3)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为
，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度
.(1)求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率
(2)若该企业某部门有9名员工，用
表示其中按方式一回答问卷的人数，求的数学期望；(3)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为
，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.
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7 . 某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
，且每题正确完成与否互不影响，求：
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
，且每题正确完成与否互不影响，求：(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
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8 . 我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通过计算，国王要给阿基米德
粒米，这是一个天文数字.
年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算
个格子一共能得到（ ）粒米.
粒米，这是一个天文数字.年后，又一个数学家小明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按照小明的方案，请你计算个格子一共能得到（ ）粒米.A． | B． | C． | D． |
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解题方法
9 . 鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为（ ）
| A．16 | B．32 | C．36 | D．48 |
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10 . 如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知.
(1)求证：
平面；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)设
是
的中点，棱
上是否存在点
，使得
平面？若存在，求线段
的长；若不存在，说明理由.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：平面
平面.
注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.
中，四边形是边长为4的正方形.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知. (1)求证：
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值；(3)设
是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.条件①：
；条件②：
；条件③：平面
平面.注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案解答计分.
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2022-12-10更新
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533次组卷
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5卷引用：北京市对外经济贸易大学附属中学2023届高三上学期12月月考期末综合测试（一）数学试题
北京市对外经济贸易大学附属中学2023届高三上学期12月月考期末综合测试（一）数学试题北京市日坛中学2023届高三上学期12月月考数学试题北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（已下线）黄金卷04（已下线）北京市西城区2022届高三二模数学试题变式题16-21
