1 . ⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．

2 . 如图，在直三棱柱中，，，为的中点．

(1)若为上的一点，且，求证；
(2)在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．

3 . 如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接．

   

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．

4 . 如图，在空间四边形ABCD中，点H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．求证：直线相交于一点．

5 . 设是虚数，，且．
(1)求的值及的实部的取值范围；
(2)求证：是纯虚数；
(3)求的最小值．

6 . 如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证：

(1)、、、四点共面；
(2)、必相交且交点在直线上．

7 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆E：的离心率为，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接，交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设，，求的最大值．

8 . 如图，已知斜三棱柱的侧面是菱形，，．

(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．

9 . 如图，在正三棱柱中， 点 D在边上， .

(1)求证：平面
(2)如果点E是的中点， 求证：平面

10 . 如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面．