1 . 已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．

2 . 已知曲线在点处的切线为．
(1)求直线的方程；
(2)证明：除点外，曲线在直线的下方；
(3)设，求证：．

3 . 已知点在双曲线上．
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点，其中O为坐标原点，求证：的面积是定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点､，在线段上取异于点､的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．

4 . 设，函数．
(1)判断的零点个数，并证明你的结论；
(2)若，记的一个零点为，若，求证：．

5 . 已知函数．
(1)求证：函数在定义域上单调递增；
(2)设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．

6 . 已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）设斜率为的直线与曲线交于两点，证明：.

7 . 已知．
（1）求证：当时，在上单调递增；
（2）对于任意，证明：．

8 . 已知函数，其中a为非零常数．
讨论的极值点个数，并说明理由；
若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．

9 . 已知函数，其中，，函数，其中为自然对数的底数.
（I）判断函数的单调性；
（II）设， 是函数的两个零点，求证：；
（III）当，时，试比较与的大小并证明你的结论.

10 . 已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？
若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.