1 . 如图，在中，.

(1)证明:为等边三角形.
(2)试问当为何值时，取得最小值?并求出最小值.
(3)求的取值范围.

2 . 下列命题是真命题的是（       ）

A．上底面与下底面相似的多面体是棱台

B．若一个几何体所有的面均为三角形，则这个几何体是三棱锥

C．若直线在平面外，则

D．正六棱锥的侧面为等腰三角形，且等腰三角形的底角大于

3 . 在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
(1)试求，，，的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．

4 . 已知经过圆锥的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 某汽车集团从2023年开始大力发展新能源汽车，2023年全年生产新能源汽车2000辆，每辆车的利润为1万元.如果在后续的几年中，经过技术不断创新，后一年新能源汽车的产量都是前一年的，每辆车的利润都比前一年增加1000元，则生产新能源汽车6年的时间内，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去，参考数据：）（     ）

A．2.291亿

B．2.59亿

C．22.91亿

D．25.9亿

6 . 某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.
(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；
(2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复.
（i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）求甲第（，2，，16）天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.

7 . 如图，在梯形中，，，，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点．

(1)求的值；
(2)求的值；
(3)直线分别交线段、于，两点，若、、三点在同一直线上，求的值．

8 . 已知矩形，，过作平面，使得平面，点在内，且与所成的角为，则点的轨迹为______，长度的最小值为______．

9 . 已知函数图象上三个不同的点，，．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若，探究线段的中点在第几象限？并说明理由．

10 . 某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：①体积可能是；②体积可能是；③和在直观图中所对应的棱所成的角为；④在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对；其中所有正确结论的编号是（       ）

A．①③

B．②④

C．①②③

D．①②③④