1 . 已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于________；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为________．

2 . 已知函数的图象对称中心为且过点，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点.若方程在上的所有根之和等于2024，则满足条件中整数的值构成的集合为_______

3 . 已知，则在下列关系①；②；③；④中，能作为“”的必要不充分条件的个数是（       ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4 . 以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设是椭圆上一点（异于），直线与轴分别交于两点．证明在轴上存在两点，使得是定值，并求此定值．

5 . 有关圆与圆的下列哪些结论是正确的（        ）

A．圆 的圆心坐标为，半径为5

B．若分别为两圆上两个点，则的最大距离为

C．两圆外切

D．若为圆 上的两个动点，且，则的中点的轨迹方程为

6 . 已知直线，点是之间的一定点，并且P点到的距离分别是，B点是上的一动点，作，且使与交于点，则以下说法中正确的有____________.
①三角形的面积存在最小值
②存在最大值
③当时，的长存在最小值
④当时，点P到的距离为定值
⑤当时，与的夹角为

7 . 如图所示，以原点为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设为大圆上任意一点，连接交小圆于点，设，过点分别作轴，轴的垂线，两垂线交于点．
   
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)点分别是轨迹上两点，且，求面积的取值范围．

8 . 已知函数的定义域为R，为奇函数，且当时，，则以下结论：
①的图象关于点对称；
②当时，；
③有4个零点；
④若曲线上不同两点的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，则曲线过点的切线为的自公切线.
其中正确的为（       ）

A．②③

B．①②

C．①③④

D．①②④

9 . 给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则___________.

   

10 . 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线上的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程.其中原点O为的中点，例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为.其中.
   
(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程；
(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点，若求a的值；
(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把点C称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l与y轴交于点，E为线段的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当时，求出的面积值.