1 . 已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，，左右顶点分别为，，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为4．
(1)求的方程；
(2)过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为．求证：．

2 . 已知函数.
(1)若存在两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若，且在上有两个极值点，求证：.

3 . 已知函数，．
(1)判断方程的实根个数；
(2)证明：．
参考数据：．

4 . 已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)证明：有唯一极值点.

5 . 已知函数．
(1)若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
(2)设，证明：．

6 . 已知函数（）有两个零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数的两个零点分别为，，证明：.

7 . 已知函数在上单调递增.
(1)求的取值范围；
(2)若存在正数满足（为的导函数），求证：.

8 . 已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线相交于点，N.当点运动时，求证：以为直径的圆截轴所得的弦长为定值.

9 . 某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：（为自然对数的底数，），，．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：，等等．
(1)对任意实数，，，请判断是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明．
(2)若（），，，．定义闭区间（）的长度为，若对任意长度为1的区间，存在，，，求正数的最小值．

10 . 已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，函数有两个不同的零点，，求证：．