1 . 已知椭圆的离心率为，上顶点为．
(1)求的方程；
(2)设的右顶点为，点是上的两个动点，且直线与的斜率之和为3，证明：直线过定点．

3 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，在双曲线上，且轴，．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值．

4 . 已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，记较小零点为，求证：.

5 . 已知函数.
(1)若的最小值为1，求；
(2)设为两个不相等的正数，且，证明：.

6 . 已知实数，函数，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求证：存在极值点，并求的最小值.

7 . 已知函数.
(1)若，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(2)设函数，若对任意，总有，使得，求的取值范围.

8 . 已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，，左右顶点分别为，，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为4．
(1)求的方程；
(2)过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为．求证：．

9 . 已知函数.
(1)若存在两个极值点，求实数的取值范围；
(2)若，且在上有两个极值点，求证：.

10 . 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.