1 . 已知函数，．
(1)判断方程的实根个数；
(2)证明：．
参考数据：．

2 . 已知函数为常数.
(1)求的单调区间和极值；
(2)设的两个零点分别为，证明：.

3 . 某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：（为自然对数的底数，），，．进一步研究，发现该运算有许多奇妙的性质，如：，等等．
(1)对任意实数，，，请判断是否成立？若成立请证明；若不成立，请举反例说明．
(2)若（），，，．定义闭区间（）的长度为，若对任意长度为1的区间，存在，，，求正数的最小值．

4 . 已知双曲线的右焦点为F，双曲线C上一点关于原点的对称点为，满足.
(1)求的方程；
(2)直线与坐标轴不垂直，且不过点及点，设与交于、两点，点关于原点的对称点为，若，证明：直线的斜率为定值.

5 . 已知函数．
(1)若函数在上只有一个零点，求的取值范围；
(2)若，记数列的前项和为，证明：．

6 . 已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

7 . 数列中，，对任意正整数n都有.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：
①；
②.

8 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的极小值为M，证明：．

9 . 函数，在点处的切线方程为．
(1)求；
(2)，证明：．

10 . 已知函数．
(1)求函数的最值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：．