1 . 定义:在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”,例如:数列经过第一次“和扩充”后得到数列;第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为,所有项的和为.
(1)若,求;
(2)求不等式的解集;
(3)是否存在数列,使得数列为等比数列?请说明理由.
(1)若,求;
(2)求不等式的解集;
(3)是否存在数列,使得数列为等比数列?请说明理由.
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2 . 已知抛物线的焦点为,直线交抛物线于两点,为抛物线的准线与轴的交点,直线分别交抛物线于两点(点异于点,),为坐标原点,则实数的取值范围为__________ ;__________ .
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3 . 在平面内,若直线将多边形分为两部分,多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等,则称为多边形的一条“等线”,已知为坐标原点,双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2,点为右支上一动点,直线与曲线相切于点,且与的渐近线交于两点,当轴时,直线为的等线.
(1)求的方程;
(2)若是四边形的等线,求四边形的面积;
(3)设,点的轨迹为曲线,证明:在点处的切线为的等线
(1)求的方程;
(2)若是四边形的等线,求四边形的面积;
(3)设,点的轨迹为曲线,证明:在点处的切线为的等线
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4 . 数列的前n项和为,若数列与函数满足:①的定义域为;②数列与函数均单调增;③存在正整数,使成立,则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列两个命题:( )
①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个;
②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.
①与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个;
②与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.
A.①②都是真命题 | B.①是真命题,②是假命题 |
C.①是假命题,②是真命题 | D.①②都是假命题 |
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5 . 已知 为坐标原点,曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行,且两切线间的距离为,其中 .
(1)求实数 的值;
(2)若点 分别在曲线 上,求 与 之和的最大值;
(3)若点 在曲线 上,点 在曲线 上,四边形 为正方形,其面积为,证明:
附:ln2 ≈ 0.693.
(1)求实数 的值;
(2)若点 分别在曲线 上,求 与 之和的最大值;
(3)若点 在曲线 上,点 在曲线 上,四边形 为正方形,其面积为,证明:
附:ln2 ≈ 0.693.
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6 . 已知,对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( )
A. | B. |
C. | D. |
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7 . 已知函数,其中,.若点在函数的图像上,且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点,则称点为点的一个“上位点”,现有函数图像上的点列,,…,,…,使得对任意正整数,点都是点的一个“上位点”.
(1)若,请判断原点是否存在“上位点”,并说明理由;
(2)若点的坐标为,请分别求出点、的坐标;
(3)若的坐标为,记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数,使得无穷数列、、…、…严格减?若存在,求出实数的所有可能值;若不存在,请说明理由.
(1)若,请判断原点是否存在“上位点”,并说明理由;
(2)若点的坐标为,请分别求出点、的坐标;
(3)若的坐标为,记点到直线的距离为.问是否存在实数和正整数,使得无穷数列、、…、…严格减?若存在,求出实数的所有可能值;若不存在,请说明理由.
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8 . 已知函数,若恒成立,则正实数的取值范围是( )
A. | B. | C. | D. |
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9 . 已知椭圆C:的上顶点M与椭圆C的左、右焦点,构成一个等边三角形,过且垂直于,的直线与椭圆C交于D,E两点,且的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P,Q是椭圆C上的两个动点,且,过点O作,交直线PQ于H点,求证:点H总在某个定圆上,并写出该定圆的方程.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P,Q是椭圆C上的两个动点,且,过点O作,交直线PQ于H点,求证:点H总在某个定圆上,并写出该定圆的方程.
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2024高三·全国·专题练习
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10 . 已知函数.
(1)若函数有三个零点分别为,,,且,,求函数的单调区间;
(2)若,,证明:函数在区间内一定有极值点;
(3)在(2)的条件下,若函数的两个极值点之间的距离不小于,求的取值范围.
(1)若函数有三个零点分别为,,,且,,求函数的单调区间;
(2)若,,证明:函数在区间内一定有极值点;
(3)在(2)的条件下,若函数的两个极值点之间的距离不小于,求的取值范围.
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