1 . 已知抛物线
的焦点为
，过抛物线
上一点
作两条斜率之和为0的直线，与的另外两个交点分别为
（均在
点下方），则下列说法正确的是（ ）
的焦点为，过抛物线上一点作两条斜率之和为0的直线，与的另外两个交点分别为（均在点下方），则下列说法正确的是（ ）A．的准线方程是 |
B．若圆 与以 为半径的圆外切，则圆与 轴相切 |
C．直线 的斜率为定值 |
D． 的面积最大值为 |
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解题方法
2 . 已知双曲线
的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若直线
与的右支及渐近线的交点自上而下依次为
，证明：
；
(3)求二元二次方程
的正整数解
，可先找到初始解
，其中
为所有解
中的最小值，因为
，所以
；因为
，所以
；重复上述过程，因为
与
的展开式中，不含
的部分相等，含的部分互为相反数，故可设
，所以
.若方程的正整数解为，则
的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.
的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线
的标准方程；(2)若直线
与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；(3)求二元二次方程
的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以.若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.
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3 . 某盒中有12个大小相同的球，分别标号为
，从盒中任取3个球，记
为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的期望为______ .
，从盒中任取3个球，记为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量的期望为
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4 . 已知曲线
与
的两条公切线的夹角的正切值
，则
的值为（ ）
与的两条公切线的夹角的正切值，则的值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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5 . 函数
（e为自然对数的底数）与
的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是______ .
（e为自然对数的底数）与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是
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6 . 已知
（其中
为自然对数的底数）.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当
时，判断
是否存在极值，并说明理由；
(3)若对任意实数，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
（其中为自然对数的底数）.(1)当
时，求曲线在点处的切线方程;(2)当
时，判断是否存在极值，并说明理由；(3)若对任意实数
，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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7 . 
.
(1)讨论
的单调性；
(2)
，恒有
，求
的取值范围.
.(1)讨论
的单调性；(2)
，恒有，求的取值范围.
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8 . 已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），则剩余中间部分八面体的外接球的表面积为______ .
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9 . 设是定义在区间
上的函数，如果对任意的
，有
，则称为区间上的下凸函数；如果有
，则称为区间上的上凸函数．
(1)已知函数
，求证：
（ⅰ）
；
（ⅱ）函数为下凸函数；
(2)已知函数
，其中实数
，且函数
在区间
内为上凸函数，求实数的取值范围．
是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．(1)已知函数
，求证：（ⅰ）
；（ⅱ）函数
为下凸函数；(2)已知函数
，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．
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解题方法
10 . 已知
，
，
，则（ ）
，，，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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595次组卷
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4卷引用：四川省广安友实学校2023-2024学年高二下学期第三次月考数学试卷
