2 . 曲线的曲率定义如下：若是的导函数，令，则曲线在点处的曲率．已知函数，，且在点处的曲率．
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）若，且，求证：．

3 . 已知.
（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
（2）当，时，证明：函数只有一个零点；
（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.

4 . 在直角坐标系xoy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为；
（i）求证：P，O，Q三点共线；
（ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值．

6 . 已知直线与椭圆相交于点，点在第一象限内，分别为椭圆的左、右焦点．
(1)设点到直线的距离分别为，求的取值范围；
(2)已知椭圆在点处的切线为．
（i）求证：切线的方程为；
（ii）设射线交于点，求证：为等腰三角形．

8 . 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线在点处的曲率计算公式为，其中．

(1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；
(2)已知函数，求曲线的曲率的最大值；
(3)已知函数，若曲率为0时x的最小值分别为，求证：．

9 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记，求证：．

10 . 已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接并延长交双曲线左支于点P，连接与，其中l垂直于的平分线m，垂足为D．

(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求证：直线m与直线的斜率之积为定值；
(3)求的最小值．