解题方法
1 . 我们把
（其中
，
）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元
次多项式方程（即
，
，
，…，
为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元
次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即
，其中k，
，
，
，
，……，
为方程的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即，，，…，为实数），方程的有实数根，则多项式
必可分解因式．例如：观察可知，
是方程
的一个根，则
一定是多项式
的一个因式，即
，由待定系数法可知，
．
(1)解方程：
；
(2)设
，其中，，，
，且
．
（i）分解因式：
；
（ii）记点
是
的图象与直线
在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时，
．
（其中，）称为一元n次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元次多项式方程（即，，，…，为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即，其中k，，，，，……，为方程的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即，，，…，为实数），方程的有实数根，则多项式必可分解因式．例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，．(1)解方程：
；(2)设
，其中，，，，且．（i）分解因式：
；（ii）记点
是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点．求证：当时，．
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2 . 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为
，2表示为
，3表示为
，5表示为
，发现若
可表示为二进制表达式
，则
，其中
，
或1（
）.
(1)记
，求证：
；
(2)记
为整数
的二进制表达式中的0的个数，如
，
.
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
（用数字作答）.
，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）.(1)记
，求证：；(2)记
为整数的二进制表达式中的0的个数，如，.（ⅰ）求
；（ⅱ）求
（用数字作答）.
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2024-03-01更新
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2769次组卷
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5卷引用：云南省大理州祥云县部分高中（云·上联盟五校协作体）2024届高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题
云南省大理州祥云县部分高中（云·上联盟五校协作体）2024届高三下学期复习摸底诊断联合测评数学试题东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题重庆市缙云教育联盟2024届高三下学期3月月度质量检测数学试题（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总（已下线）数学（浙江专用）-新高一上学期数学开学摸底考试卷
3 . 抛物线
的图象经过点
，焦点为
，过点且倾斜角为
的直线
与抛物线
交于点
，
，如图．的标准方程；
(2)当
时，求弦
的长；
(3)已知点
，直线
，
分别与抛物线交于点
，
．证明：直线
过定点．
的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．
的标准方程；(2)当
时，求弦的长；(3)已知点
，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．
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2024-09-07更新
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692次组卷
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3卷引用：云南省三校2025届高三高考备考实用性联考卷（二）
4 . 如图，已知点列
与
满足
，
且
，其中
，
．
；
(2)求
与
的关系式；
(3)证明：
．
与满足，且，其中，．
；(2)求
与的关系式；(3)证明：
．
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2024-09-15更新
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283次组卷
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2卷引用：云南省三校2025届高三高考备考实用性联考卷（二）
名校
解题方法
5 . 已知抛物线
，焦点为，点
为曲线的准线与对称轴的交点，过的直线与抛物线交于
两点.
(1)证明：当
时，
与抛物线相切；
(2)当
时，求
.
，焦点为，点为曲线的准线与对称轴的交点，过的直线与抛物线交于两点.(1)证明：当
时，与抛物线相切；(2)当
时，求.
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名校
解题方法
6 . 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第
层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列
.的通项公式；
(2)求
的最小值；
(3)若数列
满足
，对于
，证明：
.
层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列.
的通项公式；(2)求
的最小值；(3)若数列
满足，对于，证明：.
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2024-06-08更新
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444次组卷
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3卷引用：云南省昆明市第三中学2024届高三下学期高考考前检测数学试卷
7 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过点的动直线l交E于A，B两点，且点A在x轴上方，直线
与E交于另一点C，直线
与E于另一点D．
(1)求
的面积最大值；
(2)证明：直线CD过定点．
的左、右焦点分别为，，过点的动直线l交E于A，B两点，且点A在x轴上方，直线与E交于另一点C，直线与E于另一点D．(1)求
的面积最大值；(2)证明：直线CD过定点．
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2024-06-19更新
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310次组卷
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3卷引用：云南省昆明市第一中学2024届高三第十次考前适应性训练数学试卷
8 . 已知双曲线
的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为
，直线
与
轴的交点为
，且
.
(1)求的方程；
(2)过点作斜率为
的直线与交于，两点，
为线段
的中点，过点且与垂直的直线交轴于点
，求证：
为定值.
的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.(1)求
的方程；(2)过点
作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.
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2024-02-03更新
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603次组卷
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4卷引用：2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）
解题方法
9 . 已知函数
；
(1)当
时，证明：对任意
，
；
(2)若
是函数
的极值点，求实数
的值．
；(1)当
时，证明：对任意，；(2)若
是函数的极值点，求实数的值．
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名校
解题方法
10 . 英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立发明了微积分，其中牛顿在《流数法与无穷级数》
一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，具体做法如下：一个函数的零点为
，先在轴找初始点
，然后作
在点
处切线，切线与轴交于点
，再作在点
处切线，切线与轴交于点
，再作在点
处切线，以此类推，直到求得满足精度
的零点近似解
为止.
，初始点
，精度
，若按上述算法，求函数
的零点近似解满足精度时的最小值（参考数据：
）；
(2)设函数
，令
，且
，若函数
，
，证明：当
时，
.
一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，具体做法如下：一个函数的零点为，先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，以此类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.
，初始点，精度，若按上述算法，求函数的零点近似解满足精度时的最小值（参考数据：）；(2)设函数
，令，且，若函数，，证明：当时，.
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2024-06-05更新
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197次组卷
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2卷引用：云南省曲靖市第一中学2024届高三教学质量检测（八）数学试卷
