1 . 已知函数，．
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若函数有两个极值点，，证明：．

2 . 如图，在直三棱柱中，，为的中点.

（1）求证：；
（2）求与平面所成的角．

3 . 已知椭圆，经过点且斜率为的直线与相交于两点，与轴相交于点.
（1）若，且恰为线段的中点，求证：线段的垂直平分线经过定点；
（2）若，设分别为 的左、右顶点，直线、相交于点.当点异于时，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

4 . 如图，四棱锥中，平面，，，，.是棱上的一点，.

（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为.多面体的体积为，求.

5 . 已知函数．（为自然对数的底数）
（1）设为的导函数，求证：当时，；
（2）若，且是的极小值点，求实数的取值范围．

6 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明.

7 . 如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.

（1）求证：平面；
（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由.

8 . 已知函数.
（1）当时，证明：函数只有一个零点；
（2）当时，，求实数a的取值范围.

9 . 已知椭圆的左右焦点分别为，左顶点为，且，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，直线别与轴交于点，求证：在轴上存在点，使得无论非零实数怎样变化，以 为直径的圆都必过点，并求出点的坐标．

10 . 已知函数在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）设两个极值点分别为，，且，证明：.