1 . 若数列满足:存在等差数列,使得集合元素的个数为不大于,则称数列具有性质.
(1)已知数列满足,.求证:数列是等差数列,且数列有性质;
(2)若数列有性质,数列有性质,证明:数列有性质;
(3)记为数列的前n项和,若数列具有性质,是否存在,使得数列具有性质?说明理由.
(1)已知数列满足,.求证:数列是等差数列,且数列有性质;
(2)若数列有性质,数列有性质,证明:数列有性质;
(3)记为数列的前n项和,若数列具有性质,是否存在,使得数列具有性质?说明理由.
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2024-04-10更新
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446次组卷
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3卷引用:河南省信阳市新县高级中学2024届高三下学期适应性考试(十)数学试题
名校
解题方法
2 . 数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
(1)证明:任意一个正项等比数列均为下凸数列;
(2)设,其中,分别是公比为,的两个正项等比数列,且,证明:是下凸数列且不是等比数列;
(3)若正项下凸数列的前项和为,且,求证:.
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2024-06-12更新
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1137次组卷
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5卷引用:河南省鹤壁市高中2024届高三下学期高考适应性考试(二)数学试题
名校
3 . 已知函数.
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为,求证;
(i)是一个递减数列
(ii).
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为,求证;
(i)是一个递减数列
(ii).
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2024-06-04更新
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559次组卷
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2卷引用:河南省许昌市魏都区许昌高级中学2024届高三下学期5月月考数学试题
名校
解题方法
4 . 设,.如果存在使得,那么就说可被整除(或整除),记做且称是的倍数,是的约数(也可称为除数、因数).不能被整除就记做.由整除的定义,不难得出整除的下面几条性质:①若,,则;②,互质,若,,则;③若,则,其中.
(1)若数列满足,,其前项和为,证明:;
(2)若为奇数,求证:能被整除;
(3)对于整数与,,求证:可整除.
(1)若数列满足,,其前项和为,证明:;
(2)若为奇数,求证:能被整除;
(3)对于整数与,,求证:可整除.
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2024-05-19更新
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530次组卷
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2卷引用:河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
5 . 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个n维向量,其中称为该向量的第个分量.特别地,对一个n维向量,若,,称为n维信号向量.设,则和的内积定义为,且.
(1)写出所有3维信号向量;
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量;
(3)证明:不存在14个两两垂直的14维信号向量;
(4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的,求证:.
(1)写出所有3维信号向量;
(2)直接写出4个两两垂直的4维信号向量;
(3)证明:不存在14个两两垂直的14维信号向量;
(4)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的,求证:.
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名校
6 . 在正项无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为阶等比数列.在无穷数列中,若对任意的,都存在,使得,则称为阶等差数列.
(1)若为1阶等比数列,,求的通项公式及前项和;
(2)若为阶等比数列,求证:为阶等差数列;
(3)若既是4阶等比数列,又是5阶等比数列,证明:是等比数列.
(1)若为1阶等比数列,,求的通项公式及前项和;
(2)若为阶等比数列,求证:为阶等差数列;
(3)若既是4阶等比数列,又是5阶等比数列,证明:是等比数列.
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2024-03-10更新
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952次组卷
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4卷引用:河南省TOP二十名校2024届高三下学期质检一数学试题
7 . 在平面直角坐标系xOy中,A,B点的坐标分别为和,设的面积为S,内切圆半径为r,当时,记顶点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)已知点E,F,P,Q在C上,且直线EF与PQ相交于点A,记EF,PQ的斜率分别为,.
(i)设EF的中点为G,PQ的中点为H,证明:存在唯一常数,使得当时,;
(ii)若,当最大时,求四边形EPFQ的面积.
(1)求C的方程;
(2)已知点E,F,P,Q在C上,且直线EF与PQ相交于点A,记EF,PQ的斜率分别为,.
(i)设EF的中点为G,PQ的中点为H,证明:存在唯一常数,使得当时,;
(ii)若,当最大时,求四边形EPFQ的面积.
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8 . 对于函数及实数m,若存在,使得,则称函数与具有“m关联”性质.
(1)若与具有“m关联”性质,求m的取值范围;
(2)已知,为定义在上的奇函数,且满足;
①在上,当且仅当时,取得最大值1;
②对任意,有.
求证:与不具有“4关联”性.
(1)若与具有“m关联”性质,求m的取值范围;
(2)已知,为定义在上的奇函数,且满足;
①在上,当且仅当时,取得最大值1;
②对任意,有.
求证:与不具有“4关联”性.
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2024-01-24更新
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1174次组卷
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4卷引用:河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题
河南省郑州市宇华实验学校2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题广东省华南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2024届高三下学期校二模考试数学试题(已下线)压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总-2
9 . 数列极限理论是数学中重要的理论之一,它研究的是数列中数值的变化趋势和性质.数列极限概念作为微积分的基础概念,它的产生与建立对微积分理论的创立有着重要的意义.请认真理解下述3个概念.
概念1:对无穷数列,称为数列的各项和.
概念2:对一个定义域为正整数集的函数,如果当趋于正无穷大时,的值无限趋近于一个常数,即当时,,就说常数是的极限值,记为.如:,当时,由反比例函数的性质可知,即记为.当(为常数)时,.
概念3:对无穷数列,其各项和为,若当时,(为常数),即,则称该数列的和是收敛的,为其各项和的极限;若当时,其各项和的极限不存在,则称该数列的和是发散的,其各项和的极限不存在.
试根据以上概念,解决下列问题:
(1)在无穷数列中,,求数列的各项和的极限值;
(2)在数列中,,讨论数列的和是收敛的还是发散的;
(3)在数列中,,求证:数列的和是发散的.
概念1:对无穷数列,称为数列的各项和.
概念2:对一个定义域为正整数集的函数,如果当趋于正无穷大时,的值无限趋近于一个常数,即当时,,就说常数是的极限值,记为.如:,当时,由反比例函数的性质可知,即记为.当(为常数)时,.
概念3:对无穷数列,其各项和为,若当时,(为常数),即,则称该数列的和是收敛的,为其各项和的极限;若当时,其各项和的极限不存在,则称该数列的和是发散的,其各项和的极限不存在.
试根据以上概念,解决下列问题:
(1)在无穷数列中,,求数列的各项和的极限值;
(2)在数列中,,讨论数列的和是收敛的还是发散的;
(3)在数列中,,求证:数列的和是发散的.
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10 . 已知椭圆的长轴为4,直线与圆相切于点,与相交于,两点,且,,.
(1)记的离心率为,证明:;
(2)若轴右侧的点在上,且轴,,是圆的两条切线,切点分别为,(在上方),求的值.
(1)记的离心率为,证明:;
(2)若轴右侧的点在上,且轴,,是圆的两条切线,切点分别为,(在上方),求的值.
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